existence d'un dl

[invitedc16fe1a]

bonjour
existe t il d'autres methodes pour montrer qu'une fonction admet un dl a part le fait qu'elle soit de classe C(n+1)?
on me demande est ce les fonctions suivantes possedent des dl et jusqu'a quel ordre , sauf que j'ai du mal a commencer et meme en supposant qu'il existe je n'arrive pas a le calculer , pouvez vous me donner des indications? j'ai essaye de faire des derivations succesives et a la derive 5eme je trouve 24/x je me disais qu'elle n'est plus continue mais avec le Df de ln ,ca ne pose plus probleme , je suis donc bloque
merci pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Les fonctions considérées ont des DL de tous ordres là où elles sont définies ( pour la première, pour la deuxième) puisqu'elle y sont .
Elles sont aussi prolongeables par continuité en 0 (à démontrer), et on peut s'interroger sur les DL en 0 de leurs prolongements.

"existe t il d'autres methodes pour montrer qu'une fonction admet un dl a part le fait qu'elle soit de classe C(n+1)?" Oui, par exemple la définition. Mais c'est assez anecdotique. D'autant qu'une fonction peut admettre un DL d'ordre n>1 sans être n fois dérivable. Comme la deuxième de tes fonctions (prolongée) ...

Cordialement.

[invitedc16fe1a]

bonjour
voici ou j'en suis a ma recherche
la premiere :je la prolonge en 0 en posant f(0) = 0 , n'arrivant pas a calculer le dl par operations usuelles , je calcule les derives successives que je prolonge en 0 par calcul de limite , je trouve que les 3 premieres derives sont nulles en 0 , et a partir de la quatrieme les limites sont infinies (impossible de les prolonger en 0) donc la fonction admet un dl d'ordre 3 en 0 resultat que je trouve etrange ,pouvez vous me le confirmer?
la deuxieme : je le prolonge en 0 en posant g(0) = 1 , egalement etant incapable de calculer le dl par operations ( est ce faisable?), je calcule les derives successives que je prolonge et ceci jusqu'a l'ordre 2 a partir duquel les limites deviennent infinies , je trouve donc
pouvez vous evaluer mon travail ?
merci

[gg0]

Bonjour.

Problème avec la première , la dérivée seconde ne tend pas vers 0 en 0. D'ailleurs, d'après la définition des DL, comme f(x)=x^2 +x^3*x.ln(x) et que x.ln(x) tend vers 0 en 0, le DL d'ordre 3 de f s'écrit f(x)=x² +o(x^3).

Pour la deuxième, la définition donne immédiatement un DL d'ordre 2, bien qu'il n'y ait pas de dérivée seconde. Il te suffit d'écrire g(x) = ... +x^2*e(x) où ... est remplacé par ce qu'il faut, et e(x) tend vers 0 en 0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,

Tu te compliques bien la vie. Pour rappel, un h(x) = o(xⁿ) en 0 si lim h(x)/xⁿ = 0
Or on a

et

et clairement pas de limite définie avec la puissance immédiatement supérieure donc ...


[EDIT] grillé par gg0, dans la même minute

[invitedc16fe1a]

bonjour
en effet pour la derive seconde elle n'est pas nulle mais vaut 2 ,
pouvez vous affirmer ou infirmer la proposition suivante " si une fonction est n fois derivable alors elle possede un dl d'ordre n , mais la reciproque n'est pas vrai "?
autre question la non existence d'un dl a l'ordre n implique t elle directement sa non existence a l'ordre n+1?
pour la deuxieme: g(x) = 1+x^2*x(1+sin(1/x)) donc g(x) = 1 + o(x^2)
merci

[gg0]

" si une fonction est n fois dérivable alors elle possède un dl d'ordre n , mais la réciproque n'est pas vraie " Oui, bien sûr, c'est vrai pour n au moins égal à 2, je le disais dans ma première réponse !! Tu ne lis pas tout ?

"la non existence d'un dl à l'ordre n implique-t-elle directement sa non existence à l'ordre n+1?"Ben ... si tu as un DL à l'ordre n+1, tu en déduis immédiatement un DL à l'ordre n, par troncature. C'est évident, non ? En tout cas, si on a compris la notion de négligeabilité.

OK pour g(x).

[invitedc16fe1a]

bonjour
j'avais certainement lu votre premiere reponse , je tenais juste a m'assurer qu'il n y avait pas d'equivalence entre derivabilite et le fait d'admettre un dl , car dans ce cas la ma justification de la non existence d'un dl d'ordre superieure reposait sur le fait que la fonction n'etait pas derivable , j'imagine donc que c'est faux . comment pourrais je donc le faire correctement?
merci

[gg0]

Effectivement,

l'inexistence de la dérivée n-ième ne justifie pas l'inexistence d'un DL d'ordre n (ta deuxième fonction le prouve). Mais tu as la définition, tu peux t'en servir. par exemple, pour f, pourquoi n'y a-t-il pas de DL d'ordre 4 : Ça donnerait x²+x^4ln(x) = x² + ax^4 +o(x^4) (*). Tu peux facilement prouver que ce n'est pas possible ...

(*) j'ai utilisé l'unicité du DL pour les termes d'ordre 0 à 3.

[invitedc16fe1a]

bonjour
par identification on trouve a= ln(x) or pour un polynome les coefficients doivent etre des constantes , par l'absurde f n'admet pas de dl d'ordre 4, est ce bien ca ? si oui comment pourrait le dire plus proprement ?
merci

[gg0]

Non, il ne peut pas y avoir "identification", ce ne sont pas des polynômes. o(x^4) est la clef de la réponse, tu sembles l'avoir oublié dans tes analyses.

[invitedc16fe1a]

bonjour
en passant tout les termes du cote gauche et en divisant pas x^4 je dois trouver une limite nulle , donc lim ln = a absurde car lim ln = -inf , par suite f n'a pas de dl d'odre 4