Taylor Lagrange

[math47]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :

1. Calculer les dérivées première et seconde de la fonction f(x) = 1 /(√x) sur ]0, +∞[.
2. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange entre 16 et 17, déterminer un nombre rationnel qui soit une valeur approchée par défaut de 1/√17 avec une erreur inférieure à 5 · 10−4

Pour la première question j'ai trouvé f'(x) = -1/(2x√x) et f''(x)= 3/(4x²√x)
Pour la deuxième question, que signifie entre 16 et 17 ? Nous n'avons pas encore fait d'exercices et avec la leçon seule j'ai du mal à voir comment procéder...

Merci d'avance et bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

La formule de Taylor-Lagrange permet de calculer une valeur de f à partir d'une autre et de valeurs des dérivées. ici, calculer f(16), f'(16), f"(16) ne pose aucun problème et on te demande d'approximer f(17).

Bon travail !

[math47]

Pour approximer f(17) il faut donc que j'utilise Taylor Lagrange en 17 mais je calcule ça en quel ordre du coup ? C'est encore un peu flou, désolé

[gg0]

1) "en 17"?? Mais f(17)= ... oui.
2) combien de dérivées as-tu ?

Et si tu essayais de calculer, au lieu d'attendre qu'on te dise "calcule" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Comme j'ai 2 dérivées j'ai pensé le faire à l'ordre 2 mais comment dois-je m'occuper du reste qui lui est dérivée 3eme de c sur 3! ? Je le laisse comme ça ou je calcule la dérivée 3eme? Car à cet ordre cela me donne quelque chose proche de 1/√17 + ce fameux reste

[gg0]

Je ne sais pas, c'est ton exercice, à toi de regarder si tu peux te contenter de ces deux dérivées.
Moi, je ne vais pas faire les calculs, ce n'est pas mon exercice. Si tu les présentes ici, j'y jetterai un coup d’œil, mais depuis ce matin, tu aurais eu largement le temps de finir.

[math47]

Finalement j'ai réussi, merci de votre aide !
Dernière question : si on ne nous avait pas demandé de calculer 2 dérivées, comment aurait-on pu savoir à quel ordre utiliser la formule de TL ?

[gg0]

En essayant, ou bien, si les dérivées sont prévisibles, en regardant à partir de quel ordre on aura la précision voulue.

[jacknicklaus]

De manière générale et théorique, c'est difficile.

On le fait donc de façon pragmatique : on calcule autant de termes de la série de TL que nécessaire jusqu'à satisfaire la contrainte de proximité ( |f(x) - somme de n termes de TL| < écart max souhaité).
Ici on aurait donc essayé l'ordre 0 (ca marche pas), l'ordre 1 (ca marche pas), l'ordre 2 (ca marche, on s'arrête)

[math47]

Merci tous les deux de vos réponses!