Taylor-Lagrange.

invite52487760 · 03/11/2010, 15h39

Salut à tous,

J'ai un exercice sur l'application de la formule de Taylor dans un espace vectoriel normé, et j'aimerai que quelqu'un me donne quelques indices pour arriver à la solution :

Soit $\text{[math]}$ un espace de Banach, et $\text{[math]}$ un intervalle de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ .
On suppose que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ et qu'il existe deux constantes positives : $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , Montrer en utilisant la formule deTaylor Lagrange que, si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
On suppose que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ et qu'il existe deux constantes positives constantes $ M $ et $ K $ telles que $\text{[math]}$ et tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ , majorer $\text{[math]}$
Montrer que si $\text{[math]}$ , la serie $\text{[math]}$ converge sur $\text{[math]}$ et a pour somme $\text{[math]}$

En vous remerciant d'avance

invite52487760 · 03/11/2010, 15h41

Pour la première question, ça va

Soit $\text{[math]}$
D'après le formule de Taylor à l'ordre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ puis entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
D'où
$\text{[math]}$
Soit encore : $\text{[math]}$
Puisque $\text{[math]}$ est lineaire,alors
$\text{[math]}$
et donc $\text{[math]}$
c'est dire $\text{[math]}$

Pourriez vous m'apporter un peu d'aide pour la question qui suit ?

Taylor-Lagrange.

Taylor-Lagrange.

Re : Taylor-Lagrange.

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