Inégalité de Taylor Lagrange

[invited00ee48c]

Bonsoir. Je cherche à démontrer l'inégalité de Taylor Lagrange. Donc je part de Taylor avec reste intégral pour avoir :
.

C'est la dernière intégral qui me gêne.
Soit et dans ce cas : .
Soit et dans ce cas : .

Ce dont je doute, c'est l'égalité dans le cas t>b.

Merci !
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[inviteaf1870ed]

A moins que je ne m'abuse (comme disait Fritz), t est la variable d'intégration, et est donc comprise entre a et b, ou bien ?
Et je pense que la primitive de xⁿ/n! est xⁿ⁺¹/(n+1)!, non ?

[invited00ee48c]

Vous n'abusez de rien ! Lol ! En reprenant le calcul :


Puis je calcul l'intégrale sans me préoccuper du signe pour l'instant :
.

Donc finalement :


Est-ce correct ?

[inviteaf1870ed]

Oui en n'oubliant pas le Mn+1 dans la dernière inégalité

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited00ee48c]

Merci.
Il existe semble-t-il une démonstration avec le théorème des accroissements finis.
Vous la connaissez ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il faut utiliser la fonction auxiliaire définie sur par
.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il suffit d'utiliser la fonction auxiliaire définie sur par , où est déterminé par la condition .

[invited00ee48c]

Je n'ai pas bien compris God's Breath, surtout l'utilité de A dans votre définition.
Quoiqu'il en soit :

Je trouve après calcul que et comme je déduis :

Comment évaluer le sup ?

[invite57a1e779]

est déterminé par la condition .

Le théorème de Rolle assure l'existence de tel que , c'est-à-dire ce qui fournit la majoration

[invited00ee48c]

Je connais l'égalité de Taylor-Lagrange pour les fonctions de classe C^n et ayant une dérivée d'ordre n+1 sur un intervalle qui assure l'existence d'un avec :
.

Cette démonstration est-elle correcte ?

Sinon, si , dans mon inégalité (à droite) je vais avoir un zéro embêtant