Vrai/Faux en logique

[LuisFigo7et10]

Bonjour,

j’étudie actuellement la logique, et je voudrais savoir si mon interprétation des tables de vérité est correcte.

Prenons la celle de la disjonction « A ou B » :
A | B | « A ou B »
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Pour moi,
la valeur de « A ou B » est à 0 signifie « pas valable » ou « impossible » ou « contradiction »
la valeur de « A ou B » est à 1 signifie « valable » ou « possible » ou « pas de contradiction »

Exemple : prenons « x=1 ou x=2 »
pour x=3, cela donne « 3=1 ou 3=2 » la table de vérité répond alors « pas valable » ou « impossible » ou « contradiction »
pour x=1, , cela donne « 1=1 ou 3=2 » la table de vérité répond alors « valable » ou « possible » ou « pas de contradiction »

Mon interprétation est-elle correcte ?

Je précise les choses sur un exemple simple, prenons le théorème de Pythagore.
"Si un triangle est rectangle alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés" qui est une implication "Si ...alors ...".

Cet énoncé est "vrai" est souvent interprété comme on peut en faire une démonstration.
Cet énoncé est "faux" est souvent interprété comme on peut en donner un contre-exemple.

Prenons maintenant une instance de cette implication.
ABC triangle plat de longueurs 8cm 5cm et 3cm => 8^2 pas égal à 5^2 + 3^2

Dire que ceci est une implication "vraie" (ce qui n'a pas le même sens qu'avant), m'apparaît alors ambigu, qu'est-ce que ça signifie exactement ?

C'est sur ce point que j'ai un peu de mal (d'où le vocabulaire possible/impossible que je tente d'utiliser dans ce cas là).

Merci pour vos réponses.

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi chercher une interprétation plus compliquée que "A ou B est vrai quand l'un au moins des deux est vrai" ? C'est ce que dit la table de vérité.
Si tu ne veux pas utiliser "vrai/faux", c'est possible et alors tu prends le "ou" comme un connecteur défini simplement par ses propriétés. Et tu laisses tomber les tables de vérité (vérité est lié à vrai).

Je n'ai pas compris pourquoi tu parles ensuit de l'implication, surtout que tu parles d'une implication que tu n'utilises pas ensuite (tu utilise sa réciproque, coup de chance, elle est vraie aussi.

Cordialement.

[LuisFigo7et10]

Je ne suppose pas qu'il y a une réciproque et ne cherche donc pas à l'utiliser, le problème est pour l'implication quand A est faux. Par exemple 5=10 => pi=12 est vrai en logique mais ça n'a pas beaucoup de sens intuitivement. Cela vient du fait que "Faux implique P" est vrai, qui pose problème à beaucoup de monde, car c'est un abus si on prend "implique" au sens usuel, c'est en fait un axiome de logique.

J'ai poussé ma réflexion, et voici ma solution :

Merci pour vos réponse et votre patience.
J'ai résolu mon problème, voilà la solution que j'y apporte.
Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.
Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4
Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4
5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4
Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4
Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4
Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !
La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :
A | B | A=>B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».
Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention) de passer de l'un à l'autre.
Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (voilà j'ai trouvé des mots pour remplacer vrai) par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.
Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre
Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative
Fin.

[LuisFigo7et10]

J'ai compris ceci grâce à un très bon document de mon ancienne fac. Merci à eux.

Je souhaiterais supprimer mon compte, merci.

N'hésitez pas à le faire directement, car je ne reviendrais pas ici, merci beaucoup.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Je souhaiterais supprimer mon compte, merci.

Il faut faire la demande par MP à un des responsables ou responsables techniques du forum. Leurs pseudos sont en rouge en bas de cette page https://forums.futura-sciences.com/m...ues-superieur/.

[Médiat]

Sans définition formelle de ce qu'est une démonstration, tout cela tient de la discussion de comptoir

[prch]

Bonjour
Assez édifiant le personnage...
Il sait tout, il a tout compris, mais poste partout puis désire se désinscrire partout...modifie ou supprime ses messages alors qu'il a obtenu des réponses...exemples:
https://www.ilemaths.net/sujet-verit...ue-868693.html


https://www.maths-forum.com/superieu...e-t231723.html

[MissJenny]

Cela dit, si beaucoup de gens ont des difficultés à comprendre la notion d'implication logique c'est qu'elle n'est pas si évidente.

Je crois que le problème vient de ce que les débutants la confondent avec la notion de causalité. Ils traduisent la phrase : "la cause A entraîne la conséquence B" par "A implique B". Bien entendu en mathématiques il n'y a pas de notion de causalité mais on ne peut pas reprocher aux débutants d'essayer de se raccrocher à ce qu'ils connaissent par ailleurs. Le problème est que l'implication logique quand on essaie de l'appliquer au monde réel (ce qui est une erreur mais bon...) va plutôt dans le sens inverse de la causalité.

Par exemple dans le fameux proverbe, c'est la fumée qui implique le feu : si je vois une fumée sortir de la cheminée de telle maison c'est que quelqu'un y a fait du feu. Mais la causalité est inverse : c'est parce que quelqu'un a allumé un feu dans cette maison que de la fumée s'en échappe. Donc le débutant pensera feu => fumée alors que ce que dit le proverbe (logiquement!) c'est fumée => feu

[gg0]

Bof ! n'importe comment il ne comprend pas ce qu'on lui dit, ni même ce qu'il écrit (par exemple la réciproque de l'implication, qu'il a pourtant écrite clairement - Il confond la fausseté d'une proposition avec l'écriture d'une réciproque !!)

[GBo]

C'est pas faux !

[Médiat]

Le flooding a atteint les-mathematiques.net (le fil a été fermé :

afin d'éviter à d'autres de perdre inutilement du temps

.