Limite quand (x,y)->(0,0)

[invite35896a4a]

Bonjour,

Je n'arrive pas à montrer que lim (x,y)->(0,0) de x^4 * y^2 /(x^4 + y^8) = 0 ...
D'habitude se genre d'indétermination se leve facilement en passsant en coordonées polaires, mais ici je n'y arrive pas.

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Avec le passage en coordonnées polaires, la limite se justifie facilement.
Expose tes calculs.

Cordialement.

[invite35896a4a]

Passage en coordonées polaires: f( rcos(a), rsin(a) ) = rcos^4(a)*sin(a) / (cos^4(a)+r^4sin^8(a) ) < cos^4(a) / ( r^3 sin^7(a) )
J'ai fais faux ?

[gg0]

Oui, il manque deux ² au numérateur, mais déjà, ça suffit pour passer à la limite. Comment se traduit (x,y)-->(0,0) ?

NB : Je n'ai pas compris ton inégalité inutile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35896a4a]

Oooops, excuse moi, la fonction c'est x^4 * y /(x^4 + y^8) !! Le y du numérateur n'est pas au carré

Et pour la limite, justement: je suis bloqué. Je sais qu'il faut que je majore |f(x)| par une fonction qui tend vers 0, typiquement

||(x,y)||^n

mais je ne vois pas.

Peux tu détailler une étape?
Merci en tout cas

[gg0]

Ben ... (x,y)-->(0,0) se traduit tout simplement par r -->0. C'est une traduction immédiate de la définition (r=||(x,y)||). Il ne reste qu'à examiner ce que fait le reste (*), qui est une fonction continue de a et r.

(*) essentiellement 1/(cos^4(a)+r^4sin^8(a) ), puisque cos^4(a)*sin(a) est borné.

[invite35896a4a]

D'accord... lim r->0 de rcos^4(a)*sin(a) / (cos^4(a)+r^4sin^8(a) ) = 0

Cependant prenons: f(x,y)=x^3y^2/(x^4+y^8)
La lim (x,y)->(0,0) n'existe pas. Mais si on passe en coordonées polaires:

g( rcos(a), rsin(a) )=rcos^3(a)*sin^2(a) / (cos^4(a)+r^4sin^8(a) )

.. et qu'on fait lim r->0 , on trouve que la limite existe et vaut 0 ?!

Il y'a donc encore qqch qui m'échappe . Suite à ce que tu m'as dis je suppose que ça vient du fait que cos^3(a)*sin^2(a) n'est pas bornée, et donc une possible forme indéterminée au numérateur, ainsi ce que j'ai dis pour la lim sur g serait faux.

Si c'est ça: Comment tu sais au premier coup d'oeil qu'un produit de sinusoïde est borné ??

[gg0]

En fait, je suis allé trop vite, On a bien besoin de cos^4(a)*sin(a) / (cos^4(a)+r^4sin^8(a) ) entier, car 1/(cos^4(a)+r^4sin^8(a) ) n'est pas borné (prendre r=0 et cos(a) proche de 0.

Désolé, je ne vais pas pouvoir rester en ligne.

[invite35896a4a]

Ok exact, mais ducoup mon problème reste entier...
Bon apétit et merci quand même !

[epiKx]

Bonjour,
Peux-tu minorer intelligemment le dénominateur en coordonnées cartésiennes pour x,y différents de 0?
Conclure en faisant tendre (x,y) vers 0.
Cordialement.

[invite35896a4a]

Minorer le dénominateur par x^4+y^4 ?

[epiKx]

Quel est le signe de y^4?

[invite35896a4a]

Positif... Explique moi ton raisonnement je te dirais si c'est juste !
Je pense que j'ai trouvé : f( rcos(a), rsin(a) ) = rcos^4(a)*sin(a) / (cos^4(a)+r^4sin^8(a) ) : je divise en haut en bas par cos^4(a) et je montre que la limite quand r tend vers 0 existe et vaut 0.
Quelle était ton idée ?

[epiKx]

Soit x different de 0.
y^8 positif donc qui tend vers 0

[Biname]

Salut,

graphe de f(x,y) = lim ...
https://www.geogebra.org/calculator/qxdrphpa

Biname

[jacknicklaus]

si x différent de 0,




etc...