Polynôme forcément nul ?

[Alphasaft]

Bonjour, j'ai un énoncé qui me pose quelques problèmes : j'ai réussi l'exercice mais la solution me paraît étrange... Serait-il possible de m'aiguiller ?

Déterminer le polynôme et la constante m tel que P(mX+1) = P(X).

Pour moi il faut répondre à la question sur n'importe quel corps commutatif K.

A mes yeux une considération des coefficients de degré 3 de P(mX+1) et P, qui doivent être identiques, fournit a = 0 ou puisque ledit coefficient est tout simplement a dans le cas de P(X) et dans le cas de P(mX+1).

Supposons . On obtient en développant puis regroupant les termes de même degré ; enfin :

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Sauf que si l'on prend, comme convenu, , le système n'a soit aucune solution, soit une infinité (en effet après calculs on obtient b = kb, avec k une constante, ce qui amène soit k = 1, et b = b, il ne nous reste donc plus que 2 égalités pour fixer trois inconnues, soit b = 0, et par suite a = 0). Donc . De plus si a = 0, et que l'on cherche à trouver , on obtient m = -1 (ligne 2), et finalement c = -2b + c d'où c = -b (ligne 3)... Mais b = c (ligne 1), d'où b = c = -c = 0.
Le problème vient du fait que dans l'énoncé on a "la constante m telle que...", or si P(X) = 0, , donc on est à priori libre de choisir m.
Y a t il une erreur de raisonnement (probable ), ou est-ce bien la solution ?
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[Médiat]

Bonjour,

Sans le détail de vos calculs, il est difficile de détecter une erreur, mais il me semble que les polynomes K(X² -X) conviennent (avec m = -1)

[epiKx]

Le déterminant de la matrice associée au système linéaire est . Il est donc différent de 0 si ou ou . Il y a donc 2 polynômes complexes solutions de l'équation.
Cordialement.

[epiKx]

(Dans le cas )

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Je me suis trompé on aboutit au polynome nul ce qui est une contradiction. Donc a=0.

[epiKx]

En fait, P=0 si m=1 et le cas échéant P=0 quand même.Donc P=0 c'est bien ce que tu as fait!

[epiKx]

Pourtant l'exemple de Médiat semble correct...

[epiKx]

Mon determinant n'est valable que dans le cas a différent de 0 et m^3=1. Si a =0 on montre que m=1 et m=-1 conviennent. Mais seul le polynome de Médiat est solution. Il doit y avoir une erreur de calcul dans ce que tu as fait...

[Alphasaft]

Merci à tous pour vos réponses ! Cependant que représente le K dans la réponse de médiat ? J'imagine que c'est un polynôme particulier, mais lequel ?

[epiKx]

Merci à tous pour vos réponses ! Cependant que représente le K dans la réponse de médiat ? J'imagine que c'est un polynôme particulier, mais lequel ?

K est une constante.

[epiKx]

Mais b=c (ligne 1)

non b=-c

[Alphasaft]

D'où l'erreur... Merci pour tout !
Pour la constante, j'ai eu un (gros) doute puisque je les écrit personnellement toujours en minuscule ^^'

[jall2]

bonjour



Si m est différent de -1 ou 0 alors les nombres 0, 1, m, m²+m+1 ... sont tous distincts et l'égalité précédente n'est pas possible pour un polynôme non constant.

m = 0 conduit immédiatement à P=0

m = -1

P(1-X) = P(X)

La courbe représentative du polynôme P a une symétrie par rapport à la droite x = 0.5, ça ne peut pas être un polynôme de degré 3. Donc a=0
P(x)=bX²+cX
P(0)=0, P(1)=0
b+c=0
c=-b
P(X)=bX(X-1)