Perturbation quadratique

[mc222]

Bonjour à tous,

J'ai une équation différentielle assez assez complexe dont j'aimerais trouver une solution approchée par la méthode des perturbations :


Je recherche donc une solution approchée de l'équation sous la forme d'une série perturbative soit:


On trouve facilement la solution de l'équation homogène, c'est à dire, lorsque la perturbation est nulle :

Avec A et B, deux réels dépendants des conditions aux limites du problème.

Ensuite, sans détailler l'ensemble du calcul, je trouve la solution générale pour :

Avec et deux nouvelles constantes, liées également aux conditions aux limites du problème.

Mon problème est que je me retrouve maintenant avec 4 constantes à déterminer.
Or mes conditions aux limites ne me permettent d'en déterminer que deux...

Comment faire ?

Merci d'avance !
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[mc222]

Je vais reformuler ma question qui n'est pas très explicite, je m'en rends compte.

Dans le cadre de la théorie des perturbations, comment traiter les conditions aux limites ?
A chaque nouveau terme perturbateur on a une nouvelle équation différentielle où seul le second membre change.
La conséquence est que seules les solutions particulières changent, mais la solution homogène (càd de l'équation sans second membre) réapparait à chaque fois.
On a donc à chaque terme de la série perturbative la solution homogène qui réapparait avec de nouvelles constantes d'intégration.

Comment déterminer les valeurs de ces constantes surnuméraires ?
Par quel argument pouvons-nous décréter que ces constantes sont nulles et ne retenir que les solutions particulières ?

Merci d'avance !