(a²b²6)+1 n'est jamais un carré?

**leg** · 10/08/2006, 07h39

bonjour a tous
si je prend (4*6)+1 = 5²
mais si je rajoute un carré par ex (4*9*6)+1 je n'obtient plus de carré??
je comprend que (4*9*1)+1 ne peut être carré
est ce que cela vient du fait de rajouter un carre...
si vous avez une idée merci

invite636fa06b · 10/08/2006, 08h20

Bonjour,

Tu as (1²*2²)*6+1 = 5²

Mais aussi, moins trivialement
(5²*4²)*6+1 = (10²*2²)*6+1 = 49²
(99²*2²)*6+1 =(33²*6²)*6+1 = 485²
et bien d'autres...
On peut trouver assez facilement toutes les solutions de l'équation diophantienne 6a²+1=b²
Il y en a une infinité et la plupart des a ne sont pas premiers.2 ; 20; 198;1960;19402;192060....

invite636fa06b · 10/08/2006, 09h11

En fait, il n'y a que le couple (2,5) où a est premier (ils sont tous pairs)
Tu peux obtenir la suite des couple par la récurrence :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**leg** · 10/08/2006, 10h05

merci zinia
alors mon idée se complique serieusement.

car en ayant trouvé cette condition, il m'est impossible de savoir pourquoi la deuxième condition n'est obtenu au dela de a = 2
6a² = n
n+1 = b²
(n-1) + (n+2) = c² n'aurait pas de solution!

d'où (6a²*b²*c²)/6 = u² ; n'aurait qu'un cas unique, vu comme cela ça parait impossible

la première condition est remplie je n'ai pas la deuxième, et vis versa
en supposant que j'ai la première condition avec a > 2 :

(6a² * (6a²+1) * c²)/6 =....

(6a²*(6a²+1)*((6a²-1)+(6a²+2)))/6 =...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite636fa06b · 10/08/2006, 10h22

J'avoue ne rien avoir compris à ton dernier message.
C'est quoi la condition 1 ? La condition 2 ?

**leg** · 10/08/2006, 11h59

j'ai la première condition
6a² = n
n+1 = b²
donc jai trouvé [6a²*((6a²+1)=b²)]/6 =x²

deuxième condition
[(6a² -1) +(6a² + 2)]y²

d'où x²*y²=z².
soit je trouve x² mais je n'ai pas y² , ou l'inverse, au dela de a = 2.

invite636fa06b · 10/08/2006, 12h51

Si j'ai bien compris tu cherches un triplet a,b,c vérifaint simultanément les deux équations diophantiennes :
6a²+1=b² et 12a²+1=c²
La seconde a pour solution une suite récurrente :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Elles ont au moins en commun les deux premiers a.
Je ne pense pas qu'il en existe d'autres (à vérifier)

**leg** · 10/08/2006, 13h02

zinia, tu veux bien dire par là qu'il n'y aurait qu'une solution unique avec a = 2 !
ce qui donne (24*25)/6 = 4*25 et
4*25 *(23+26) = 4*25*49 =z²..

invite636fa06b · 10/08/2006, 13h48

Il faudrait regarder d'un peu plus près mais d'abord est-ce que la formulation que j'ai faite (message n°7) est correcte ?
C'est difficile de comprendre précisément le problème, tu introduit de nouvelles variables à chaque ligne, les équations ont un signe égal à l'intérieur de parenthèses...

**leg** · 10/08/2006, 14h00

je cherche à trouver pourquoi il n'y a qu'une solution
a cette équation
[(24*25)(23+26)]/6 = z²
a = 2
nous avons donc bien [(n + (n+3))(n+1 * n+2)]/6 = z²
que j'ai redécomposé différement pour essayer de comprendre
ce qui me donne 6a²...etc etc

invite636fa06b · 10/08/2006, 14h17

Bon, je crois deviner que tu cherches à savoir si la somme des n+1 premiers carrés peut être elle même un carré
Non ?

**leg** · 10/08/2006, 15h20

c'est exact ,et tu as du reconnaître
que je décompose un nombre Pyramidale PYR, en deux nombres tétrahédriques consécutifs,Tn et Tn-1
$PYRn=Tn+Tn-1$
comme tu me l'à fait remarquer, il s'agirait de deux suites récurentes utilisant le même a mais qui n'aurait comme seule et unique solution a=2 soit le triplet 4,25,49
("des rechercherches utilisant le modulo 6 n'aboutisse pas avec n=1(6) mais je pense que cela est normale puisque une solution existe!")
donc j'ai redécomposé ce nombre PYr en somme de deux Tn, tn et tn-1 afin de simplifier ou d'y trouver une autre idée
ce qui fait apparaître tes deux suites qui à priori ne peuvent que commencer avec a=2, donner la première solution puis impossible par la suite .

et 6a²+1=b² et 12a²+1=c²
d'où 6a² /6 =a²
a²*b²*c²= z²
nous somme donc d'accord qu'en partant de cette première condition,puisqu'il en existe, qu'il me suffit de diviser 6a² par 6 = a² où 6a²+1 est un carré mais je ne peut pas diviser
12a²+1= c² par 6 ce qui me fausserait le résultat.

car le produit est =
[(6a² * (6a²+1)) ((6a²-1)+(6a²+2))] / 6 =

[(6a² * (6a²+1)) ((12a²+1)] / 6=

(a² * (6a²+1)) (12a²+1)= 4900 si a=2

invite636fa06b · 10/08/2006, 16h18

Il est sans doute possible de raisonner avec les courbes elliptiques :
A partir de ton point de départ : $\text{[math]}$
on peut poser : $\text{[math]}$
qui donne l'équation $\text{[math]}$
Dont on connait deux solutions (0,0) et (49/6,70/3)
Cela devrait suffire pour trouver d'autres solutions rationnelles

invite636fa06b · 10/08/2006, 16h56

Finalement l'équation (n+1)(n+2)(2n+3)=6z² n'a bien que la solution évoquée (n=23) à laquelle il faut rajouter, pour être complet les solutions triviales : n=-1 et n=0

**leg** · 10/08/2006, 19h02

mais, sans utiliser les courbes elliptiques peut on le montrer facilement

invite636fa06b · 10/08/2006, 20h55

Bonsoir,

Je pense qu'il doit être possible de montrer que les deux suites évoquées n'ont pas de terme commun au delà d'un certain rang.

On peut déjà exprimer les valeurs possibles de a dans chaque équation :

6u²+1=b² $\text{[math]}$
12v²+1=c² $\text{[math]}$

Il faudrait montrer que pour n et m supérieurs à une certaine valeur, il n'est pas possible que $\text{[math]}$
Ca doit être faisable en remarquant que les valeurs des seconds termes sont très petits quand n est assez grand...
à suivre

**invite35452583** · 10/08/2006, 21h10

Je pense que l'on peut y arriver aussi ainsi :
6a²+1=b²
12a²+1=c²
d'où 1+2b²=c²
Dans l'anneau factoriel z[ $\text{[math]}$ , (j permet de simplifier l'écriture tant pis pour l'ambiguïté)
1+bj et 1-bj sont premiers entre eux
1+bj^1-bj=2^1+bj est divisé par j^1+bj (car -j²=2)
et j^1+bj=j^1=1

1+bj est donc un carré (u+vj)²=(u²-2v²)+2uvj
On a u²-2v²=1 i.e. 1+2v²=u²
et 2uv=b

Autrement dit si b est solution de 1+2b² dans N² alors il existe une décomposition de b=(2u).v tellle que v soit aussi solution avec v<b.

invite636fa06b · 10/08/2006, 23h02

Envoyé par homotopie

J
1+bj et 1-bj sont premiers entre eux OK
1+bj^1-bj=2^1+bj ???

Je n'ai pas compris le passage

Autrement dit si b est solution de 1+2b² dans N² alors il existe une décomposition de b=(2u).v tellle que v soit aussi solution avec v<b.

Oui l'équation 1+2b²=c² a une infinité de solutions :2 12 70 408... mais ça ne nous dis pas si l'intersection avec les autres équations se limite à {0,2}

invite636fa06b · 10/08/2006, 23h48

6a²+1=b² 12a²+1=c² d'où 2b²-1=c²

Petite correction

**leg** · 11/08/2006, 09h46

bonjour zinia et homotopie.

a) peut on donc dire, que les seul cas qui nous interressesont sont ceux avec a entier soit les PYR =
a=1 donne pyr =91
a=2 " " =4900
a=3 " " =53955
etc ...
ce qui sous entend que les autres nombres PYr : 5 ,14 ,30, etc..ne peuvent en aucun cas être solution du fait qu'il faut a entier, afin d'avoir 3 entiers premiers entre-eux, et si le produit de ces trois nombres est un carré parfait alors ils sont eux même des carrés .
voila pourquoi j'avais mis $\text{[math]}$ sous cette forme.
(a² * (6a²+1)) (12a²+1)= 4900 si a=2

homotopie "si je comprend" ton raisonnement, ton idée serait de voir ça sous la forme d'un triplet pythagoricien
ton idée:
"Autrement dit si b est solution de 1+2b² dans N² alors il existe une décomposition de b=(2u).v tellle que v soit aussi solution avec v<b. "

donc 1 =u²-v², et N = u²+v² soit N² = (u²+v²)²
alors b ne peut se décomposer en entier 2u.v !

est ce que cela apporte quelque chose?.

invite636fa06b · 11/08/2006, 11h19

Bonjour,

Ton problème n'est pas ouvert, il semblerait que l'unicité de la solution ait été démontrée il y a 90 ans !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_...dal_carr%C3%A9
Je n'ai pas trouvé la demo de Wilson

**leg** · 11/08/2006, 12h30

c'est exact zinia, c'est en 1918, avec l'utilisation des courbes elliptiques. C'est pour cette raison que l'on cherche une démo sans faire appel aux courbes E.
ce problème est posé sur les-Mathematiques.net puis forum, puis le sujet est: 4900.....
j'ai ramené le sujet en le posant différement afin de savoir si il y a une possibilité, car sur le site en question
cela n'a pas l'air d'aboutir.
ils parte du raisonnement:
si N =-1(6)....etc pour trouver une contradiction...
puis si N=1(6).. et là pas de solution

je suppose que cela vient du fait qu'il existe cette solution avec a = 2 car si ils obtenaient une contradiction alors la solution avec a=2 ne pourrait exister ;de plus ta remarque au post 18 est probablement le fond du problème.

moi je cherche un raisonnement qui puisse faire avancer ce sujet, petit à petit dans les limites de mes possibilités,
donc toutes les idées sont bienvenues
Peut être a tort, je pense qu'il faut partir de la forme (a² * (6a²+1)) (12a²+1)= 4900 si a=2
afin d'éliminer tous les nombres PyR qui ne sont construit avec a=1,2...n,
puisqu'ils ne pourraient être une solution..sous réserve d'une contradiction qui invaliderait l'hypothèse.

invite636fa06b · 11/08/2006, 12h48

Je vais essayer d'y réflechir mais il faut que je bosse maintenant
PS je ne vois plus les parties de message en latex. C'est ma machine qui déraille ou le forum ?

**leg** · 11/08/2006, 14h41

c'est surement le forum car moi aussi j'ai le problème.

(a²b²6)+1 n'est jamais un carré?