Conservation de l'image/noyau/... entre u et MatB,B'(u)

[Julees]

Bonjour,

Je travaille sur les matrices d'applications linéaires s'exprimant dans des bases différentes (ou non) et j'avais quelques questions à propos de la conservation de certaines caractéristiques (j'entends par "caractéristiques" l'image, le noyau, les valeurs propres, etc...).

Par exemple, donnons nous une application linéaire u allant d'un ev E muni d'une base B dans un ev F muni d'une base B'.
J'ai cru comprendre que presque toutes les caractéristiques de u étaient conservées pour son application canoniquement associée (soit B et B' les bases canoniques associées à leur espace) : leur image, noyau, espaces propres, etc... sont les mêmes.

Mais est-ce le cas pour MatB,B'(u)? Son image et noyau sont ils les mêmes que u ? Si E=F alors les valeurs propres/espaces propres sont ils conservés ?
Mes questionnements sont identiques pour MatB,B(u) en se restreignant au cas d'un endormorphisme u.


En remerciant d'avance les personnes qui prendront la peine de m'aider
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu appelles les bases canoniques de E et F. Je connais des bases canoniques pour certains espaces vectoriels particuliers, mais pour le cas général ? Soit (E,+,.) un espace vectoriel. Comment définis-tu sa "base canonique" ???
Autre chose, est une matrice, disons une matrice réelle (si E et F le sont), qu'on identifie à une application linéaire de Rⁿ dans R^m. Son image est donc une partie de R^m. Il n'y a aucune raison que ce soit la même chose que Im(u) qui est une partie de F.

Cordialement.

[Julees]

Tiens en effet, je me suis mal exprimé et j'ai fais pas mal de confusions.

Je vais tenter d'être + précis et rigoureux.
Ce que je voulais donc comprendre, ce sont les équivalences suivantes (en reprenant les notations précédentes et en fixant x élément de E de vecteur colonne X dans B, et y élément de F de vecteur colonne Y dans B') :
1) x est dans Ker(u) ssi X est dans Ker(MatB,B'(u))
2) y est dans Im(u) ssi Y est dans Im(MatB,B'(u))
3)Pour u endormorphisme de E : x est dans l'espace propre de u associé à une valeur propre ssi X est dans l'espace propre de MatB,B(u) associé à cette même valeur propre.

Ces équivalences me semblent correctes (la 3eme ne semble pas fonctionner avec deux bases distinctes de E).
Est-ce bien le cas ? Si oui, j'ai du mal à saisir leur origine.
(Merci pour votre réponse !)

PS: j'ai définit ici abusivement des images/noyaux/espaces propres de matrice mais cela revient à ceux de leur application canoniquement associé évidemment.

[gg0]

OK !

Mais comme en maths, on ne se contente pas de deviner et d'espérer avoir deviné juste, je te conseille de faire des maths : démontrer ces affirmations (c'est assez élémentaire), et rédiger très proprement les preuves (pour vérifier qu'à chaque étape tu appliques bien une règle mathématique (théorème, définition, ..).
"j'ai du mal à saisir leur origine" Ben ... c'est le fait que la matrice traduit l'effet de l'endomorphisme en termes de coordonnées, tout simplement. mathématiquement, c'est la notion d'isomorphisme (ici entre l'ensemble des applications linéaires et l'ensemble des applications canoniques associées). Rédiger la démonstration te montrera exactement comment ça se passe.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Julees]

Ok, en effet! Je viens de faire la 1) et la 2) en me ramenant à des choses simples.
La 3) ne devrait pas être + sorcière.

Merci à vous et joyeuses fêtes !