Base d'une image et noyau

[invite87ed8069]

Bonjour,
Je suis bloqué dans la méthode à appliquer.
Je dois déterminer le rang en colonne de cette matrice puis expliciter les relations de dépendances entre les colonnes.
expliciter une base du noyau et une base de l'image.

M =
(1 2 1 3)
(2 3 1 4)
(1 4 3 m)

X =
(x1)
(x2)
(x3)
(x4)

B=
(a)
(b)
(c)

Je l'ai résolu en colonne :
(1 0 0 0)
(2 -1 0 0)
(1 2 0 m-7)
C4 = -C1 + 2C2
C3 = C2 - C1
La base d'une image est les colonnes linéairement indépendantes. Et le rang en colonne nous donne le nombre de colonnes indépendantes.
Si m différent de 7 alors, le rang est 1 donc qu'une colonne.
Comment trouver cette colonne ? sachant que C2 s'écrit en fonction de C1 et C3 en fonction de C2 et C1.

J'ai essayé la méthode en multipliant une colonne par un scalaire (s1,s2,s3,s4) mais c'est un peu flou.
Ex:
pour m différent de 7
s1 = 0
2s1 - s2 = 0
s1 + 2s2 + (m - 7)s4 =0

Pour m = 7
s1 = 0
2s1 - s2 = 0
s1 + 2s2 = 0
-----

[sylvainc2]

Si m différent de 7, alors les colonnes 1,2 et 4 après le pivot de gauss sont non-nulles donc le rang est 3 (pas 1). Une base de l'image sont les vecteurs colonnes 1,2 et 4. Le noyau est dans R^4, donc dim (ker M) = 4-3=1 et une base du noyau est donc un seul vecteur qui va dépendre de m, tu le trouves en résolvant MX=0.

Si m=7 alors la colonne 4 après le pivot est nulle et le rang est 2, une base de l'image est formée des colonnes 1 et 2. Dim(ker(M))=4-2=2, donc une base du noyau est formée de 2 vecteurs de R^4, tu les trouves en résolvant MX=0 bien sûr (réponse: (1,-1,1,0) et (1,-2,0,1) )

[Scorp]

M =
(1 2 1 3)
(2 3 1 4)
(1 4 3 m)

Le plus simple c'est de regarder par colonne (avec C1, C2, C3 et C4 les 4 colonnes).

Tu vois tout de suite que C1-C2+C3=0 et C2+C3-C4=0 si et seulement si m=7 pour la 2e relation

donc si m différent de 7, on a une seule dépendance, donc rang=3-1=2
La relation C1-C2+C3=0 te donne directement le vecteur de base du noyau à utiliser : (1, -1, 1, 0)

Si m=7 : 2 relations de dépendance,donc rang=3-2=1
la deuxieme relation donne l'autre vecteur de base du noyau :
C2+C3-C4=0-> (0, 1, 1, -1)

En gros, la relation de dépendance sur les colonnes des matrices te donne directement le vecteur de base du noyau

[invite87ed8069]

Merci d'avoir pris le temps de répondre. J'avais un peu confondu certains points

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87ed8069]

M =
(1 2 1 3)
(2 3 1 4)
(1 4 3 m)

Le plus simple c'est de regarder par colonne (avec C1, C2, C3 et C4 les 4 colonnes).

Tu vois tout de suite que C1-C2+C3=0 et C2+C3-C4=0 si et seulement si m=7 pour la 2e relation

donc si m différent de 7, on a une seule dépendance, donc rang=3-1=2
La relation C1-C2+C3=0 te donne directement le vecteur de base du noyau à utiliser : (1, -1, 1, 0)

Si m=7 : 2 relations de dépendance,donc rang=3-2=1
la deuxieme relation donne l'autre vecteur de base du noyau :
C2+C3-C4=0-> (0, 1, 1, -1)

En gros, la relation de dépendance sur les colonnes des matrices te donne directement le vecteur de base du noyau

Par contre peux tu me dire si on peut trouver les bases du noyau autre qu'en faisant une résolution en ligne (ex : en colonne ?)? car j'ai fait la résolution en ligne mx = 0, je trouve les mêmes bases que toi sauf qu'à la place du 1 c'est un 2 dans le deuxième vecteur.

[Scorp]

Pour utiliser les colonnes, hormis faire la méthode que j'ai proposé (regarder les relations entre les colonnes de la matrice pour en déduire les vecteurs de base), on ne peut pas faire autrement.

Trouver les éléments du noyau de M consiste en fait à un problème aux valeurs propres : on cherche les vecteurs propres de la matrice M relatif à la valeur propre 0 (et ceci se résout de toute façon par un système). vouloir utiliser les colonnes (par un système, pas avec ma méthode) reviendrait à chercher les vecteurs propres de la v.p 0 de la transposée de M (ce qui n'a rien à voir : M et tM ont les mêmes valeurs propres, mais pas les mêmes vecteurs propres !!!)

Mais ta réponse est bonne également. Il ne faut pas oublier que les éléments du noyau forment un espace vectoriel, le Ker(M). Notamment, les éléments de base ne sont pas uniques.
Tu vois par exemple que tes 2 vecteurs de bases u1=(1, -1, 1, 0) et u2=(1, -2, 0, 1) peuvent être associés (propriété de l'esp. vect.) pour former mon 2e vecteur de base (c'est u1-u2)