Base du noyau d' une AL injective ?

[invitebdf326ca]

Bonjour a tous ,
je bute sur la facon d' ecrire une solution :
j' ai dans R3 une famille finie de 4 vecteurs non nuls qui sont des images par f de vecteurs € R4.
J' ai toutes les raisons de penser ( Dites moi si je me trompe bien sur...) que le noyau de mon application est Ker(f) = 0, puisque il ne peut y' avoir qu' un antecedent nul qui me donne une image nulle.
_Dans ce cas comment ecris t-on la base du noyau ? C'est l' ensemble vide ?
_Mon application est injective c'est ca ?

Merci d'avance
-----

[invitebdf326ca]

S' il vous plait ...

[acx01b]

salut

donne des détails, par exemple quelle est l'application f ?

parce que

j' ai dans R3 une famille finie de 4 vecteurs non nuls qui sont des images par f de vecteurs € R4.

donc ton application est de R4 --> R3 ? donc la dimension du noyau a peu de chances d'être 0

[invitebdf326ca]

Alors je ne connais pas l' application f
oui elle va de R4 dans R3
et f(e1) = (1+1+1) ; f(e2)= (-1 + 2 + 1) ; f(e3) = (-1 + 5 + 3 ) ; f(e4) = (3 - 3 - 1) .
C'est tout ce que j' ai.
Je ne suis pas tres tres fort en maths mais je me disais que comme ma famille est finie de dimension 4 et que les 4 vecteurs sont non nuls , il n' ya que le vecteur nul dans R4 qui peut me donner le vecteur nul dans R3...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebdf326ca]

En plus si ker(f) n'est pas = à 0 , je ne vois pas comment résoudre le systeme pour trouver ker(f) alors que je ne connais pas f ...
Ou alors je fais completement fausse route ??
help ...

[acx01b]

tu connais la notion de famille libre ? (ou de base c'est pareil)

et que dim(noyau) + dimension(image) = dimension de l'ev de départ

ton espace arrivée est R3 donc la dimension de l'image est au plus 3, donc la dimension du noyau est au moins 1

[acx01b]

ensuite il faut que tu regardes si ta famille (f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)) contient 1,2,ou 3 vecteurs indépendants, le plus simple c'est de regarder si (f(e1),f(e2),f(e3)) est une famille libre (je crois que c'en est une)

ce qui impliquerait que dim(im(f)) = 3 et dim(ker(f)) = 1

[invitebdf326ca]

Et oui je connais cette propriete, mais comment alors trouver une base du noyau si Dim(ker(f)) = 1 puisque je ne connais pas f...
merci pour tes reponses en tout cas, car je ne comprends plus la...

[invitebdf326ca]

le rang de ma famille est 2 par contre... pas 3

[invitebdf326ca]

Il ya 2 vecteurs LI

[invitebdf326ca]

donc ker(f) = 2

[acx01b]

ok dim(ker(f)) = 2

tu cherches donc
u = (a,b,c,d) et v = (a2,b2,c2,d2)
tel que u et v indépendants, f(u) = (0,0,0), et f(v) = (0,0,0)
je te rappelle que comme u = a.e1 + b.e2 + c.e3 + d.e4,
f(u) = a.f(e1) + b.f(e2) + c.f(e3) + d.f(e4)
ce qui t'amène à l'équation
a.f(e1) + b.f(e2) + c.f(e3) + d.f(e4) = (0,0,0)

tu pourrais par exemple essayer d = 0 pour trouver u :
a.f(e1) + b.f(e2) + c.f(e3) = (0,0,0)
et ensuite c2 = 0 pour trouver v:
a2.f(e1) + b2.f(e2) + d2.f(e4) = (0,0,0)

[invitebdf326ca]

mmm mmm je vais essayer ca tout de suite apres manger
je te tiens au couraznt
mais il ya quelque chose que je ne comprends pas dans les dimensions : quelle est la difference entre la dimension d' un vecteur (le nombre de ses coordonnées) et la dimension d' un espace vectoriel (le nombre de vecteurs LI) qu' il possede ?
en fait je ne comprends pas poourquoi par exemple un vecteur peut etre sous la forme (x+y+z+t) et faire partie d' un espace a 3 dimensiosn seulement ???
merci

[acx01b]

tu confonds un vecteur à 3 composantes (x,y,z), qui signifie souvent élément de R³
et x+y+z qui est la somme de 3 vecteurs, qui peuvent être des vecteurs de l'ensemble que tu veux
si x,y,z sont éléments de R³ alors logiqurement x+y+z est aussi un élément de R³

on note aussi une famille x,y,z : (x,y,z) il faut préciser qu'ici x,y,z sont des vecteurs et qu'ils forment une famille


ps : (x+y+z+t) ça ne veut rien dire comme notation a priori

[invitebdf326ca]

C'est bon merci acx01b .
J' ai trouvé comme base possible u = (-1 -2 +1 +0) et v= (-1 +2 +0 +1).

Normalement c'est bon.
Il ya un dernier truc sur lequel je me prends la tete depuis un bon bout de temps la :
_Est ce possible de construire une AL de E dans F qui verifie :
Ker(f) = Vect (e2+e3+e4) et Im(f) = Vect (t2 , t3)
Sachant que :
E est un ev de dim 4 de base (e1,e2,e3,e4) et F un ev de dim 5 de base (t1,t2,t3,t4,t5) .

Je "sens bien" que c'est pas possible mais je ne trouve pas pourquoi.
Pourrais tu m' aider une derniere fois ??
merci

[invitebdf326ca]

C'est bon merci acx01b .
J' ai trouvé comme base possible u = (-1 -2 +1 +0) et v= (-1 +2 +0 +1).

Normalement c'est bon.
Il ya un dernier truc sur lequel je me prends la tete depuis un bon bout de temps la :
_Est ce possible de construire une AL de E dans F qui verifie :
Ker(f) = Vect (e2+e3+e4) et Im(f) = Vect (t2 , t3)
Sachant que :
E est un ev de dim 4 de base (e1,e2,e3,e4) et F un ev de dim 5 de base (t1,t2,t3,t4,t5) .

Je "sens bien" que c'est pas possible mais je ne trouve pas pourquoi.
Pourrais tu m' aider une derniere fois ??
merci

Pardon c'est " Ker(f) = Vect (e2+e3 , e4) " !

[pat7111]

Une petite remarque, je n'ai l'impression que tu t'en sois rendu compte...

Tu dis

(...) je ne connais pas l' application f (...)

puis

oui elle va de R4 dans R3
et f(e1) = (1+1+1) ; f(e2)= (-1 + 2 + 1) ; f(e3) = (-1 + 5 + 3 ) ; f(e4) = (3 - 3 - 1)

Connaissant l'ensemble de depart et l'image par f d'une base de cet ensemble de depart, tu connais parfaitement f. , tu peux decomposer en , , et et tu viens de donner l'image de ces vecteurs par f. Les proprietes de la linearite de disent que l'image d'une combinaison lineaire de vecteurs est la combinaison lineaire des images et c'est gagne, tu connais f(x)