Bonjour,
j'ai un petit problème à résoudre sur un exercice issu du concours ENV 2005: Soit a=(x;y;z) un vecteur de R3, déterminer b appartenant à Ker u et c appartenant à Im u tels que a=b+c
Je ne sais pas trop comment commencer
merci de m'aider si vous pouvez ou si vous savez où trouver des corrections des exo des concours
bonne soirée
Hmm, il nous manque des infos. C'est quoi u ?
Parce que là, pour que ce soit possible quelque soit a (ce qui semble être le cas), il faut que Ker u et Im u soit en somme directe, ce qui est pas tout le temps cas.
u est la matrice: 2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
ker u et Im u sont en somme directe enfin je crois, c'était demandé à la question d'avant
Normalement Ker u{Vect(x;y;z)} et Im u{vect(2;-1;-1);(-1;2;-1)}
C'est quoi x, y et z dans Vect(x,y,z) ?
En fait la première question de l'exo est de calculer u(x;y;z) où (x;y;z) appartient à R3
Ensuite calculer Ker u et Im u et dire s'ils étaient en somme directe ou nn mais jui même pas sûre de cette question puisque j'ai trouvé ker u{vect(x;y;z)}
Euh si x,y,z sont pas fixés Vect(x,y,z) ça n'a pas de sens.
Faut trouver un vecteur e1 vérifiant u(e1)=0, et comme Ker u est visiblement de dim 1 ça en fera une base.
Du coup, une fois que t'auras fait ça, tu auras Ker u = Vect(e1) et Im u = Vect(e2,e3) en somme directe.
On a donc (e1,e2,e3) une base de R3.
Donc tout vecteur a de R3 s'écrit comme une combinaison linéaire de (e1,e2,e3) : tu résous le système a1e1 + a2e2 + a3e3 = a et tu dis que a = b + c avec b = a1e1 qui appartient à Ker u et c = a2e2 + a3e3 qui appartient à Im u.
ouai jui daccord que Vect(x;y;z) n'a pas de sens mais je voit pas comment je trouver autre chose que x,y et z sachant qu'on ma demandé de multiplier par (x;y;z) à la question d'avant
Tu résous le système u(x,y,z)=0 ...
c'est ce que j'ai fait et je n'arrive pas à trouver autre chose que x,y et z
mais c'est pas grave tu as peut être autre chose à faire merci de ton aide
Bah, je peux bien te donner un coup de main :
u(x,y,z)=(2x-y-z,-x+2y-z,-x-y+2z)
On cherche donc x,y,z tel que :
2x-y-z=0
-x+2y-z=0
-x-y+2z=0
Après deux choix : soit tu résous le système jusqu'au bout et tu exprime une condition sur les coordonnées (ici si je ne me trompe pas ça doit être x=y=z), soit, vu qu'on cherche un seul vecteur de Ker u, si on a repéré que (1,1,1) était solution, on s'arrête là.
moi j'ai été jusqu'au bout c'est pour sa ke j'ai trouvé x,y et z sa veut dire que tout vecteur avec x=y=z peut être solution donc je peux choisir nimporte lequel c'est sa?
Oui, c'est ça
excuse moi, jui dsl de te rederanger g un probleme je les trouve pas en somme directe comment tu as fait
Hmm, on a Ker u = Vect(e1) et Im u = Vect(e2,e3) avec e1=(1,1,1), e2=(2,-1,-1) et e3=(-1,2,-1).
On a bien dim Ker u + dim Im u = dim R3 (thm du rang), donc si on montre que (e1,e2,e3) est une base de R3 on sait que Ker u et Im u sont en somme directe.
Comme (e1,e2,e3) est une famille de 3 vecteurs dans R3 de dimension 3, il suffit de montrer qu'elle est libre et ça logiquement tu devrais savoir faire.
Oui c'est bon j'ai du faire une connerie quelque part
jte remercie beaucoup de mavoir aider
je croyais ne jamais m'en sortir
bonne soirée
De rien, bonne soirée
