Image et noyau d'une matrice
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Image et noyau d'une matrice



  1. #1
    invite01c3c114

    Image et noyau d'une matrice


    ------

    Bonjour, j'ai une matrice :
    M=
    1 -1 2
    2 3 -1
    0 1 -1

    je dois calculer le noyau et l'image.
    Pour le noyau j'ai trouvé : Ker(u)=vect(1,-1,-1)
    c'est pour l'image que je galère :

    x1 -x2 +2x3 = y1
    2x1 +3x2 -x3 = y2
    0x1 +x2 -x3 = y3

    je ne vois pas comment il faut faire ensuite...
    Merci à vous

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Image et noyau d'une matrice

    Ou bien tu résous le système et tu détermines à quelle condition il a des solutions (x1,x2,x3),
    Ou tu utilises le théorème du rang pour déterminer la dimension de l'image ; comme tu sais que les colonnes de la matrice constituent une famille génératrice de l'image, il te suffit d'en extraire une sous-famille libre avec le bon nombre d'éléments.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    invite01c3c114

    Re : Image et noyau d'une matrice

    rang(u)=Dim(E)-Dim(ker(u)) = 3 - 1 =2
    du coup et je peux dire que C3+C2=C1 donc Im(u)=vect(C2,C3) ??

  4. #4
    God's Breath

    Re : Image et noyau d'une matrice

    La formule du rang te permet de savoir que l'image est de rang 2.
    Les colonnes de la matrice te fournissent une famille génératrices à 3 éléments qui est donc liée.
    C'est très bien d'exhiber une relation de liaison telle que : C3+C2=C1.
    Mais cette équation, en elle-même ne fournit pas vraiment de renseignement puisqu'on connaissait son existence ; la connaître explicitement ne sert à rien dans la détermination de l'image.
    Pour conclure que Im(u)=Vect(C2,C3), tu dois prouver que (C2,C3) est une base de Im(u) et, compte-tenu de la dimension, il te suffit de prouver que c'est une famille libre : c'est ce point qui manque dans ta solution.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite01c3c114

    Re : Image et noyau d'une matrice

    ok, mais comment montrer que c'est une famille libre ?
    il faut que je dise que ces colonnes sont indépendantes ??

  7. #6
    God's Breath

    Re : Image et noyau d'une matrice

    Citation Envoyé par antho35 Voir le message
    il faut que je dise que ces colonnes sont indépendantes ??
    Il ne suffit pas de le dire, il faut aussi, et surtout, le prouver.

    Tu écris aC2+bC3=0, tu résous le système, et tu dois obtenir a=b=0.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    invite01c3c114

    Re : Image et noyau d'une matrice

    -a+2b=0
    3a-b=0
    a-b=0

    du coup a=b=0 donc c'est une famille libre
    donc Im(u)=vect(-1,3,1 ; 2,-1,-1 ) ?? c'est ça ??

  9. #8
    God's Breath

    Re : Image et noyau d'une matrice

    Citation Envoyé par antho35 Voir le message
    -a+2b=0
    3a-b=0
    a-b=0

    du coup a=b=0 donc c'est une famille libre
    donc Im(u)=vect(-1,3,1 ; 2,-1,-1 ) ?? c'est ça ??
    Oui, c'est ça.
    Mais tu aurais aussi pu obtenir l'image sous la forme vect(C1,C2) ou vect(C1,C3).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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