Bonjour, j'ai une matrice :
M=
1 -1 2
2 3 -1
0 1 -1
je dois calculer le noyau et l'image.
Pour le noyau j'ai trouvé : Ker(u)=vect(1,-1,-1)
c'est pour l'image que je galère :
x1 -x2 +2x3 = y1
2x1 +3x2 -x3 = y2
0x1 +x2 -x3 = y3
je ne vois pas comment il faut faire ensuite...
Merci à vous
Ou bien tu résous le système et tu détermines à quelle condition il a des solutions (x1,x2,x3),
Ou tu utilises le théorème du rang pour déterminer la dimension de l'image ; comme tu sais que les colonnes de la matrice constituent une famille génératrice de l'image, il te suffit d'en extraire une sous-famille libre avec le bon nombre d'éléments.
rang(u)=Dim(E)-Dim(ker(u)) = 3 - 1 =2
du coup et je peux dire que C3+C2=C1 donc Im(u)=vect(C2,C3) ??
La formule du rang te permet de savoir que l'image est de rang 2.
Les colonnes de la matrice te fournissent une famille génératrices à 3 éléments qui est donc liée.
C'est très bien d'exhiber une relation de liaison telle que : C3+C2=C1.
Mais cette équation, en elle-même ne fournit pas vraiment de renseignement puisqu'on connaissait son existence ; la connaître explicitement ne sert à rien dans la détermination de l'image.
Pour conclure que Im(u)=Vect(C2,C3), tu dois prouver que (C2,C3) est une base de Im(u) et, compte-tenu de la dimension, il te suffit de prouver que c'est une famille libre : c'est ce point qui manque dans ta solution.
ok, mais comment montrer que c'est une famille libre ?
il faut que je dise que ces colonnes sont indépendantes ??
Il ne suffit pas de le dire, il faut aussi, et surtout, le prouver.Envoyé par antho35
Tu écris aC2+bC3=0, tu résous le système, et tu dois obtenir a=b=0.
-a+2b=0
3a-b=0
a-b=0
du coup a=b=0 donc c'est une famille libre
donc Im(u)=vect(-1,3,1 ; 2,-1,-1 ) ?? c'est ça ??
Oui, c'est ça.
Mais tu aurais aussi pu obtenir l'image sous la forme vect(C1,C2) ou vect(C1,C3).
