la convergence de serire en fonction

[invite69686042]

salut tout le monde je trouve quelque fois que la somme d'une série géométrique de raison q est égale : q/(1-q) est ce que ce cas est vraie seulement quand 1<q<1 est pourquoi ?
par exemple mon exercice c la série de terme général suivant: x²/(1+x²)^n j e veux étudier la convergence de cette série c'est pour cela j'ai réfléchi de cette série convergence (1/x²+1)^n
et après j'ai étudier les 2 cas si x=0 S(x) = 0 et si x#0 c'est une série géométrie et ici je sait pas pourquoi la somme de cette série est écrit comme celui qui j'ai trouvé et en fin je vais trouvé que cette somme est pas continue => la série ne converge pas uniformément et le dernier question c'est est ce qu'elle ne converge pas simplement est pourquoi?
et merci beaucoup!
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[Seirios]

Bonjour,

je trouve quelque fois que la somme d'une série géométrique de raison q est égale : q/(1-q) est ce que ce cas est vraie seulement quand 1<q<1 est pourquoi ?

Tu as , donc pour : .

Donc la série converge simplement puisque pour , et que pour x=0, la convergence est immédiate.

Maintenant, tu n'as pas convergence uniforme en 0, parce que le reste de ta série est , dont la limite simple vaut 0 si et 1 si x=0, donc le reste ne converge pas vers 0.