Images par une fonction continue.

[FAN FAN]

Bonjour, et bonne Année 2011.
Voici ma question:
Soient E et F deux espaces métrique.
Soit f : E-> F une fonction continue.
Je sais que l'image d'un compact de E par f est un compact de F.
Mais les affirmations suivantes sont-elles exactes:

- L'image d'un borné de E est-elle un borné de F ?
- L'mage d'un borné-fermé de E est-elle un borné-fermé de F ?

Il me semble que non, mais contres-exemples ?
Je sais par ailleurs:
- que les compacts sont inclus dans les bornés
- que les compacts sont inclus dans les fermés.
- que les compacts sont inclus dans les fermés-bornés (mais inclusion pas nécessairement stricte)

Merci d'avance.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour.

L'image d'un borné de E est-elle un borné de F ?

Prenons et A=]0,1] et continue alors

Je pense qu'il faut plus de propriété que la simple continuité. Peut être un critère de Lipschitz

Je ne sais pas trop pour l'autre car ici je n'ai pas un fermé.

RoBeRTo

[FAN FAN]

Bonjour.

L'image d'un borné de E est-elle un borné de F ?

Prenons et A=]0,1] et continue alors

Je pense qu'il faut plus de propriété que la simple continuité. Peut être un critère de Lipschitz

Je ne sais pas trop pour l'autre car ici je n'ai pas un fermé.

RoBeRTo

Merci pour ce contre-exemple.

[sebsheep]

Pour l'image d'un borné-fermé, la question est délicate ...

Si tu es dans un espace vectoriel de dimension finie, alors ton borné fermé est compact et la question est triviale.

Sinon, on est dans un espace de dimension infinie ... je ne pense pas que l'implication soit vraie, mais construire un contre exemple en dimension infinie, c'est toujours assez délicat...

[A voir en vidéo sur Futura]

[FAN FAN]

Pour l'image d'un borné-fermé, la question est délicate ...

Si tu es dans un espace vectoriel de dimension finie, alors ton borné fermé est compact et la question est triviale.

Sinon, on est dans un espace de dimension infinie ... je ne pense pas que l'implication soit vraie, mais construire un contre exemple en dimension infinie, c'est toujours assez délicat...

L'implication est vraie dans le cas plus général où l' espace E est bolzanien (bolzanien <=> df: les fermés-bornés sont les compacts).
Pas besoin d'avoir une structure d'espace vectoriel.

Pour trouver un contre-exemple, il faudrait donc prendre pour E un espace métrique non bolzanien... Comment faire ?

[God's Breath]

Prenons et A=]0,1] et continue alors

L'application n'est pas vraiment continue sur ...

Pour trouver un contre-exemple, il faudrait donc prendre pour E un espace métrique non bolzanien... Comment faire ?

Un espace vectoriel normé de dimension infinie ?

[sebsheep]

L'application n'est pas vraiment continue sur ...

Moui, enfin bon, suffit de définir f : A -> R

Pour l'autre assertion, j'ai vraiment du mal à trouver un contre exemple ; j'ai essayé de bidouiller avec l'espace des fonctions C infini et un opérateur de dérivation "renormalisé" (pour le rendre continu), mais je trouve rien de concluant.

Mais peut être que chercher dans les applications linéaires continues est un peu trop restrictif ? A moins que l'assertion soit vraie ...

[God's Breath]

Moui, enfin bon, suffit de définir f : A -> R

Oui, mais il ne faut pas prétendre avoir et .

Quelques remarques bêtes :

1. Soient la distance sur et f une application continue non bornée de dans ; il est bien connu que est une distance sur , équivalente (et même uniformément équivalente) à . Si on se place dans l'espace métrique , on a la même topologie qu'avec donc est toujours continue, mais maintenant, on travaille dans un espace métrique borné...

2. Si on travaille dans un espace vectoriel normé avec des applications linéaires, ou bilinéaires, continues, ces applications sont bornées sur la boule unité, donc l'image d'un borné est bornée.

3. Les applications qui transforment un fermé en un fermé sont les applications fermées ; la littérature regorge de résultats sur ces applications.

4. Pour un contre-exemple à l'assertion : «l'image d'un fermé-borné de est un fermé-borné de », recherche-t-on (dans le cas particulier de ce fil) :
- un fermé-borné de dont l'image n'est pas un fermé de ?
- un fermé-borné de dont l'image n'est pas un borné de ?
- un fermé-borné de dont l'image n'est ni un fermé, ni un borné, de ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Excuse God's Breath je pensai à

[FAN FAN]

Oui, mais il ne faut pas prétendre avoir et .

Quelques remarques bêtes :

1. Soient la distance sur et f une application continue non bornée de dans ; il est bien connu que est une distance sur , équivalente (et même uniformément équivalente) à . Si on se place dans l'espace métrique , on a la même topologie qu'avec donc est toujours continue, mais maintenant, on travaille dans un espace métrique borné...

2. Si on travaille dans un espace vectoriel normé avec des applications linéaires, ou bilinéaires, continues, ces applications sont bornées sur la boule unité, donc l'image d'un borné est bornée.

3. Les applications qui transforment un fermé en un fermé sont les applications fermées ; la littérature regorge de résultats sur ces applications.

4. Pour un contre-exemple à l'assertion : «l'image d'un fermé-borné de est un fermé-borné de », recherche-t-on (dans le cas particulier de ce fil) :
- un fermé-borné de dont l'image n'est pas un fermé de ?
- un fermé-borné de dont l'image n'est pas un borné de ?
- un fermé-borné de dont l'image n'est ni un fermé, ni un borné, de ?

Ces remarques ne sont pas bêtes du tout, elles sont pertinentes.
Il est pratiquement certain que l'image d'un fermé-borné par une fonction continue n'est pas un fermé-borné en général.
Pour trouver un contre-exemple, il faudrait trouver un espace métrique source E tel que ses bornés-fermés contiennent strictement ses compacts.

[God's Breath]

trouver un contre-exemple, il faudrait trouver un espace métrique source E tel que ses bornés-fermés contiennent strictement ses compacts.

Je répète que, en vertu du théorème de Riesz, il suffit de considérer un espace vectoriel normé de dimension infinie : la boule unité est fermée-bornée, mais non compacte.

[FAN FAN]

Je répète que, en vertu du théorème de Riesz, il suffit de considérer un espace vectoriel normé de dimension infinie : la boule unité est fermée-bornée, mais non compacte.

Bon, comme tu le dis à juste raison, la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé de dimension infinie est à la fois fermée-bornée et non compacte, il ne reste qu'à trouver le contre-exemple, à savoir une application f continue de cette espace vectoriel vers un espace métrique pour laquelle l'image par f de cette boule fermée-bornée ne soit pas fermée-bornée.

[Seirios]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas, il suffit de considérer l'identité entre et , avec d la distance discrète : . Dans toute partie est fermée, ouverte et bornée ; donc l'identité est continue, mais n'est pas bornée dans .

De manière générale, il suffit de considérer un espace métrique tel que E ne soit pas bornée, et l'identité du même ensemble muni de la distance discrète vers cet espace.