Problème sur une fonction continue, dérivable,...

[invitebd8e7950]

Voila j'ai essayer vainement de comprendre et de réussir cet excercice or il s'avère que je suis totalement incompétente. S'il vous plait aidez moi,

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= sin(x²)/x si x différent de 0
f(x) = 0 si x=0

Vrai ou faux (justifier)

a) la fonction f est continue en 0.
b) la fonction f est dérivable en 0 et f'(0) = 0
c) pour x différent de 0, f'(x)= (2x²cos(x²)-sin(x²))/x².
d) la fonction f' est continue en 0.

Voilà si quelqu'un peut m'aider se serait vraiment formidable, merci d'avance
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[invite19431173]

Bonjour à toi aussi !

Alors, oui, on peut t'aider, mais on ne fera pas l'exercice à ta place !

[Algieba]

Bonsoir,

Je pense que la question c) ne pose pas vraiment de problème...

Pour la première question, essaie de "bidouiller" l'expression de ta fonction en rajoutant des choses pas forcément utiles au premier abord. Pense à un taux de variation par exemple... Ca te donnera des idées pour la question b) aussi !

[invitebd8e7950]

ok bon alors je vais essayer...

euuh bon commence pour la a)

est ce qu'on peut faire avec -1 plus petit que sinx plus petit que 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd8e7950]

En fait je ne sait pas comment démontrer qu'une fonction est continue quelqu'un peut-il me donner la méthode, merci

[Algieba]

Par définition de la continuité, ta fonction f est continue en 0 ssi :

lim f(x) = f(0).
x->0

Pour calculer cette limite, l'astuce que tu devras utiliser est la suivante :

sin(x²)/x = (sin(x²) - sin(0))/(x - 0)

ce qui doit te rappeler un taux de variation. Ensuite tu vérifie que cette limite est bien égale à f(0).

[invitebd8e7950]

j'ai vraiment trop honte de moi j'y arrive pas

lim (sin(x²) - sin(0))/(x - 0) = 0
x->0
mais bon si c'est ça jesais pas pourquoi je suis vraiment désolé

[Algieba]

Oui c'est ça. Utilise le fait que cette expression est la limite du taux de variation de la fonction x->sin(x²) quand x tend vers 0, c'est-à-dire sa dérivée en 0.

[invitebd8e7950]

donc je peux dire f(x)=sin(x²)/x=(sin(x²) - sin(0))/(x - 0)

donc lim sin(x²)= lim (sin(x²) - sin(0))/(x - 0) = 0
x->0 x->0

or f(0)=sin(o²)/0 = 0

donc f(x)=f(0)= 0 donc elle est continue

Est ce que c'est bon ?

Merci beaucoup

[Algieba]

Tu as un peu tout mélangé...

Sachant que pour x différent de 0 :

f(x) = sin(x²)/x = (sin(x²) - sin(0))/(x - 0)

Toi tu cherches lim f(x) quand x tend vers 0 mais reste différent de 0. Mais justement, on sait que :

lim (sin(x²) - sin(0))/(x - 0)
x->0
x différent de 0

existe, car c'est par définition la dérivée en 0 de la fonction x->sin(x²), c'est-à-dire 0 (tu la calcules). Donc :

lim f(x) = 0
x->0
x différent de 0

Or : f(0) = 0 On a alors montré :

lim f(x) = f(0)
x->0
x différent de 0

C'est la définition de la continuité de f en 0.
Bon là, c'est pas bien ce que j'ai fait, puisque je t'ai rédigé l'exercice. Donc fais bien l'effort de le comprendre et de retenir l'astuce utilisée, elle te reservira...

[invitebd8e7950]

Ohh !! merci beaucoup !!! vous êtes un chef !

je crois avoir compris ! merci encore !

donc pour la b) est ce que f(x) est dérivable en 0
f'(x) = sin 2x pour x différent de 0, en fait je cois pas que ça soit ça..

Je comprends si ça vous énerve mon ignorance...

[Algieba]

Non ça ne m'énerve pas du tout ! Je veux juste que tu comprennes - et soit dit en passant, tu n'es pas vraiment obligé(e) de me vouvoyer...

Pour la question b) tu ne sais pas a priori que f est dérivable en 0 : tu dois le montrer. Donc il faut revenir à la définition de ce qu'est la dérivée : c'est la limite du taux de variation (voir cours). Tu écris ce rapport, tu le simplifies et tu vas voir qu'il te rappelle une limite que tu dois connaître (moyennant un changement de variable).

Sinon, tu as dû faire une faute dans ton énoncé, je pense que f'(0) = 1.

[invitebd8e7950]

merci
sinon non je n'ai pas fait de faute mais si tu (héhé) trouves ça, ça veut dire que l'affirmation est peut être fausse.

je trouve f'(x) = (xcosx -sin(x²))/x²
mais bon la question se pose est ce juste...

[Algieba]

Oui c'est même certain que f'(0)=1, sinon la question d) est un non-sens ! Par contre, tu dois refaire le calcul de ta dérivée, parce que là c'est toi qui a fait une erreur.

Je te rappelle à tout hasard, avec u une fonction, que :

(sin u)' = u' * (cos u)

Refais donc ton calcul.

[invitebd8e7950]

f'(x) = (2x² cos (x²) - sin(x²))/x² et j'espère que c'est ça !

[invitebd8e7950]

j'ai cherché dans mon cours et je trouve pas , un peu d'aide?
svp

[Algieba]

C'est ça, tu vois ton énoncé n'était pas complètement faux ! Pour la question d), inspire-toi de la question a). Tu dois montrer :

lim f'(x) = 1 = f'(0)
x->0
x différent de 0

Je pense que ça ira, tu as tous les éléments en main !

[Algieba]

La limite que tu dois connaître c'est :

lim (sin X)/X = 1
X->0

D'ailleurs, si tu ne t'en souviens plus, c'est aussi la limite d'un taux de variation. Quand je te dis que l'astuce est utile !!!

lim (sin X - 0)/(X - 0) = cos(0) = 1
X->0

[invitebd8e7950]

D'accord merci beaucoup j'espère y arriver lol après tous ce que tu as fais pour moi, c'est vraiment trés gentil !!!

Je vais te libérer , et te souhaiter une très bonne nuit, vu l'heure tardive (oups).

Merci beaucoup et peut être à une prochaine fois

[Algieba]

L'important, c'est que tu aies bien compris pour pouvoir le refaire et pas faire les même erreurs ! Sinon, je vais effectivement dormir...

Au plaisir !

[invitebd8e7950]

D'accord merci beaucoup de m'avoir si gentillement aider

Je vais vous libérer et vous souhaiter une très bonne nuit vu l'heure tardive (oups).

Merci encore et peut être à une prochaine fois

[invitebd8e7950]

loool dsl pff la fatiguee