Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 15 sur 15

fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...



  1. #1
    jecario

    Question fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...


    ------

    Je suis à la recherche d'une fonction définie dans R (donc pas dans le domaine complexe...) mais dérivable une seule fois !
    Est ce que quelqu'un en connaît une ?

    -----
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  2. Publicité
  3. #2
    BS

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    ?

  4. #3
    jecario

    Unhappy Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    " x² . sin(1/x) " est dérivable plus d'une fois... :
    En effet, si f(x) = x² . sin(1/x),
    on a f'(x) = -cos(1/x) + 2x.sin(1/x).
    et f''(x) = -1/x².sin(1/x) + 2.sin(1/x) - 2/x.cos(1/x).
    Or je cherche une fonction f n'admettant pas de dérivée seconde... donc dont f'() existe, mais pas f''().
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  5. #4
    Quinto

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    La fonction citée par BS n'admet pas de dérivée seconde sur R, donc ca marche. (il semble que 0 soit une singularité essentielle...)

    Pour répondre à ta remarque, une fonction complexe, ne peut pas être dérivable qu'une seule fois...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Autre chose, si tu veux avoir une telle fonction, pourquoi ne pas prendre une fonction continue par morceau, mais présentant une discontinuité, par exemple:
    0 sur R-
    1 sur R+
    Tu l'intègres 2fois, tu as donc une, qui est dérivable, mais pas 2fois dérivable...

  8. #6
    jecario

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Citation Envoyé par Quinto
    il semble que 0 soit une singularité essentielle...
    Remarque particulièrement, fondée : je n'avais pas remarquée que la fonction proposée par BS n'est pas définie sur R mais sur R-{1} .

    En fait, je cherche une fonction dérivable une et une seule fois sur R, mais dont l'ensemble de définition au départ est R dans son intégralité. En revanche, l'ensemble de définition de la dérivée première ne doit pas être R.

    L'expression proposée par BS n'est pas définie en x=0 ; elle ne correspond donc pas à ce que je cherche !
    Merci malgré tout pour cette aide...
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  9. Publicité
  10. #7
    monnoliv

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Et ceci ?
    f(x) = x^2 si x>=0
    f(x) = -x^2 si x<0
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  11. #8
    Quinto

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Non, tu ne comprends pas, la fonction de BS est prolongeable en 0, ce qui est évident, tandis ce que sa dérivée non.

    Donc ca marche...

  12. #9
    BS

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Oui on pose f(0)=0. La fonction de Monnoliv marche aussi.
    Maintenant si tu veux voici encore un autre exemple. On prend une fonction f continue mais dérivable en aucun point, il me semble par exemple que
    convient.
    Comme elle continue, on peut considérer une primitive F. Alors F est C^1 sur R mais sa dérivée n'est dérivable en aucun point. Remarque que ma première fonction n'était pas C^1...

  13. #10
    jecario

    Arrow Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Citation Envoyé par Quinto
    la fonction de BS est prolongeable en 0, ce qui est évident, tandis ce que sa dérivée non.
    Je ne vois pas comment cette fonction peut être "prolongeable" en 0, puisque l'expression 1/x (contenue dans le sin(...) ) ne permet pas de définir la fonction en 0... à moins de poser f(0) = 0, mais là, il faut imposer la condition.
    Et la dérivabilité n'est pas établie en 0 pour cette fonction. Elle n'est donc pas C^1, en effet.

    Par contre, on peut effectivement utiliser la série pour résoudre mon problème. Reste à trouver une primitive ...
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  14. #11
    Quinto

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Je ne vois vraiment... mais vraiment pas ou est le probleme...
    |sin(x)|<1
    0<|x²sin(1/x)|<x²

    donc lorsque x tend vers 0 x²sin(1/x) tend vers 0.

  15. #12
    jecario

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    à mon avis (aurai je tort ?), le problème ne se pose pas d'avoir ou non une limite en 0, mais d'avoir une fonction définie et dérivable en 0.

    Pour la dérivabilité, on calcule la limite quand h tend vers 0, de
    (1/h)*( f(x+h)-f(x) ) et on voit si la limite existe.
    Par contre, dans ce cas-ci, je tombe sur un cas indéfini du type 0/infini .
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  16. Publicité
  17. #13
    Quinto

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    0/infini n'est pas indéfini.
    Et pour la nieme fois,la fonction x²sin(1/x) est prolongeable en 0, et dérivable partout sur R...

  18. #14
    jecario

    Cool Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    Autant pour moi. Les vacances ne sont pas bonnes pour réfléchir.
    Je retiens donc x².sin(1/x) comme valable...
    Merci beaucoup !
    Les mots seuls comptent, le reste n'est que bavardage. Ionesco

  19. #15
    juvanfenty

    Re : fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

    La fonction racine carée de valeur absolue de x maRche

Discussions similaires

  1. pic qui lis son programme une seule fois...
    Par Raphael2 dans le forum Électronique
    Réponses: 17
    Dernier message: 11/06/2007, 19h25
  2. Prouver que la fonction a une seule solution
    Par VIDOT dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 25/03/2007, 18h53
  3. Manger une seule fois par jour
    Par Garion dans le forum Maigrir sans régime, c'est possible
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/11/2006, 23h27
  4. Problème sur une fonction continue, dérivable,...
    Par susiemercury dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 21
    Dernier message: 17/10/2006, 01h08
  5. Chemins passant une seule fois à travers chaque carré
    Par Witten dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 01/06/2006, 22h11