Intégrale d'une fonction continue par morceaux

[Thoy]

Bonsoir à vous

J'ai un petit souci sur un exercice.
Soit f de [0,1] dans R continue par moceaux, et pour tout n .
1) On suppose dans cette question seulement f de classe C1, déterminer lim In (n à l'infini).
On suppose f continue par morceaux et continue en 1.
2) On suppose f(1)=0. Soit , tel que pour tout x de (continuité de f en 1). En découpant l'intégrale sur [0, 1-] et [1-,1] Montrer que In -> 0.

Donc dans le cas général In -> 0 ??

Merci, j'ai surtout du mal à démarrer, je vous ai mis l'exercice en entier pour que vous voyiez, mais j'ai juste besoin d'une indication du début je pense, je n'arrive pas la première!
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[ericcc]

Es tu sur du n devant l'intégrale ?

Si f(x)=x par exemple, In ne tend pas vers zéro.

[mimo13]

Bonjour

Comme l'a déjà précisé ericcc, il est fort probable qu'il n'y est pas de n devant l'intégrale, justement car si on aura ce qui contredit la question suivante.

De plus, dans la première question on donne f de classe C1, il est donc probable qu'on utilise une intégration par partie, or même après cela on n'aboutit à rien car autrement il est clair que .

[Thoy]

J'ai vérifié, il y a bien un n... Je me disais

Admettons qu'il n'y ait pas de n, que ce soit une erreur de l'énoncé, je n'aboutis pas pour l'intégration par partie...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Par Ipp:

.

D'où .

[Thoy]

Oui c'est vrai, effectivement (tu as fait une erreur dans ton écriture )

Bon bah j'essaye la suite alors!

[Thoy]

J'ai un problème, j'arrive à démontrer que sur [0,1-] elle tend vers 0 mais pour l'autre, j'ai un petit souci.

En effet, je choisis N tel que pour n>=N, x^n<=e, mais je n'arrive pas à majorer f(x), je pense utiliser le fait qu'elle soit continue en 1 mais bon, j'aurais aimé pouvoir dire que vu qu'elle est continue sur un intervalle elle est bornée et atteint ses bornes, sauf qu'elle n'est que continue par morceaux!

[Garf]

Pour commencer : le n dans l'énoncé n'est pas une erreur. On propose de montrer que converge vers 0 dans le cas où f est continue en 1 et f(1)=0. Cette dernière condition n'est pas satisfaite si f(x)=x...

Ensuite, pour aboutir, il faut procéder avec méthode. Le plus simple me semble de suivre le cheminement suivant :

1) Choisir .
2) f étant continue en 1, et f(1) étant égal à 0, choisir un tel que pour tout .
3) A n fixé, majorer l'intégrale sur . Si tout va bien, on doit trouver une expression qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
4) Majorer l'intégrale sur . Cette fois-ci, le majorant doit tendre vers 0 quand tend vers 0, mais pas quand n tend vers l'infini.
5) Prendre la définition de " converge vers 0". Il y a encore un peu de travail à faire, mais rien de bien compliqué.

[Thoy]

Bonsoir

Oui d'accord, c'est ce que j'avais esquissé au brouillon donc ça me rassure, par contre, je ne comprend pas pour la première question, si le n est là, pour démontrer que ça tend vers 0 ?

Par exemple pour la première intégrale, je montre que l'intégrale tend vers 0 quand n tend vers l'infini, mais si j'ai le n devant, plus rien ne marche!

Et où utilise-t-on le fait que f(1)=0 ?

[Thoy]

Je retire ce que j'ai dit pour le f(1)=0, on l'utilise pour la continuité et donc la majoration

[SchliesseB]

pour la question 1, on peut rien dire sur la limite (exemple, les fonctions constantes)

au mieux, on peut surement montrer que ça converge tout le tout mais on ne connait pas la limite (même si en utilisant la Q2 on sait que ça converge vers f(1))

pour la 2, une vision de la chose aide bien

pour les points proche de 1, c'est le fait que f(1)=0 et qu'elle soit continue qui aide

pour les autres, c'est le fait que x^n tend vers 0

[Garf]

Si f est , il suffit de faire une IPP (en intégrant et en dérivant f) pour obtenir le résultat (remarque au passage : momo13 s'est planté dans son IPP, en oubliant une division par n+1. Normalement, le résultat obtenu converge une fois multiplié par n). Donc, oui, on peut dire quelque chose. Il faut voir la question 2 comme une généralisation du résultat de la question 1 à des fonctions moins régulières.

[Thoy]

Bonsoir à vous deux

Je comprend bien les façons de faire, mais concrètement sur ma feuille de papier, je ne vois pas ...

[Thoy]

Du moins pour la question 1...

[SchliesseB]

exact, je n'avais pas repris les calculs précédents...

alors:

pour la Q1, f est C^1, tu peux donc faire une IPP et trouve dircet le résultat (ça tend vers f(1))

et pour la 2, f n'est plus C^1, la méthode précédente ne marche plus et donc on utilise cette méthode à base de découpage

bonne chance

[Thoy]

D'accord, donc c'est bien ce que j'avais trouvé, mais quelle généralisation peut-on en tirer?

[SchliesseB]

dans le cas général (continue), ça tend vers f(1)

il suffit d'étudier la fonction f(x)-f(1)

[ericcc]

Si f est , il suffit de faire une IPP (en intégrant et en dérivant f) pour obtenir le résultat (remarque au passage : momo13 s'est planté dans son IPP, en oubliant une division par n+1. Normalement, le résultat obtenu converge une fois multiplié par n). Donc, oui, on peut dire quelque chose. Il faut voir la question 2 comme une généralisation du résultat de la question 1 à des fonctions moins régulières.

Pour faire la question 1, il faut démontrer que si g est une fonction continue, alors tend vers zéro. Ce n'est pas bien difficile mais le résultat ne découle pas de la simple IPP