Spectre d'un vecteur d'une algèbre normée

[MOHAMED_AIT_LH]

Soit une algèbre normée de dimension finie non nulle . On note le groupe des inversibles de et l'élément neutre de la multiplication interne . Pour tout on appelle spectre de la partie de définie par .
On peut démontrer sans grande difficulté que pour tout , on a est compact. Est ce que est fini ?
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[Anonyme007]

Bonjour,

Un espace topologique discret ( i.e : au plus dénombrable ) est compact si et seulement s'il est fini. ' Voir page : ici, https://webusers.imj-prg.fr/~christi..._compacite.pdf
Donc, puisque par hypothèse, est compact, pour que soit fini, il suffit que soit un spectre discret de l’opérateur .

C'est le cas par exemple, lorsque l’opérateur est un

- opérateur compact auto-adjoint dans le cas réel.
- opérateur compact et normal dans le cas complexe.

C’est le théorème spectral qui fait l’objet principal de toute la théorie spectrale.

Voir ici, https://perso.univ-rennes1.fr/karim....eek/ANAH12.pdf , page, et .

[Anonyme007]

Je ne sais pas comment sont caractérisées les - algèbres normées de dimension finie pour que je puisse te répondre de manière assez directe.
Est ce qu'il existe un théorème qui caractérise les - algèbres normées de dimension finie ?
Je crois me souvenir, si je ne m’abuse, qu'une - algèbre normée de dimension finie se décompose comme suit,
, où, est l’espace des matrices de taille ( i.e : de taille finie ).
Est ce que c'est ça ?