Vecteurs non-isotropes et non-commutatif

[Alphasaft]

Bonjour, j'ai ce problème qui m'occupe depuis quelques jours :

On donne un K-espace vectoriel E et f une forme bilinéaire sur E.
Montrer que (f non-symetrique et non-antisymetrique) =>

J'ai fait mon petit chemin de réflexion et en suis venu à déduire qu'il suffisait que tout vecteur non-isotrope x de E admettent au moins un vecteur avec lequel il ne f-commute pas, c-a-d un vecteur y tel que f(x, y) ne soit pas égal à f(y, x) (je ne suis pas sûr du vocable 'f-commutatif' mais ça exprime bien l'idée je trouve). Ou, formulé de manière plus générale :

Si E est un K-espace vectoriel et f une forme bilinéaire non-symétrique sur E, alors tout vecteur non-f-isotrope x admet au moins un vecteur y qui ne f-commute pas avec lui.

On obtiendrait alors le résultat suivant (on pose , x étant non-isotrope).


donc . Or par définition de k,
, et . On a donc bien, en posant x' = x et y' = y - kx, le couple (x', y') recherché.

Problème : Je n'arrive pas à prouver l'existence de ce vecteur (et à vrai dire, je ne suis pas sûr à 100% qu'il existe réellement, même si je pense que si).

Merci d'avance !

Ps : Désolé pour la faute dans le titre, erreur d'inattention mais je n'arrive plus à le modifier
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[GBZM]

Bonsoir, moi j'essaierais autre chose.

Déjà je préfères voir le résultat ainsi : si pour tous , équivaut à alors est symétrique ou anti-symétrique.
Ensuite, je regarderais les formes linéaires et . Elles ont même noyau. Vois-tu où je veux en venir ?

[Alphasaft]

Je crois que je vois...
Je vais creuser !
Merci pour avoir pris le temps de répondre !

[Alphasaft]

Je confirme, c'est bon !
Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]