Bonjour,
Je bloque sur la fin d'un exo. On se place dans R^2, et au départ on prend un forme quadratique phi de signature (1,1). On montre que dans une certaine base (e1, e2) la matrice de phi est
( 1 , 0
0 , -1),
puis on prend v=(e1+e2,e1-e2) et on montre que dans cette base la matrice de phi est :
(0 , 2
2 ,0).
Jusque là, je pense que c'est bon.
Ensuite, voilà les deux questions sur lesquelles je bloque un peu :
*** Lien sur serveur externe ***
Bien sûr vu qu'ils ont les mêmes vecteurs isotropes, on a psi(e1+e2) = psi(e1-e2) = 0, d'où la diagonale de 0. Je bloque plus pour trouver explicitement a.
J'ai déjà montré (si j'ai pas fais d'erreurs), que la signature de psi est (1,1) = la signature de phi. Par contre, j'arrive pas à trouver a. La seule chose que je trouve c'est :
a = psi(e1) - psi(e2),
mais vu qu'on demande une valeur explicite, j'arrive pas à la déterminer.
Pour la question suivante, on a donc (une fois la question avant faîtes) que les formes quadratiques de R^2 et de signature (1,1) qui ont exactement les mêmes vecteurs isotropes sont semblables j'ai l'impression (si on a phi et psi deux telles formes quadratique, on a j'ai l'impression pour une certaine matrice diagonale D : Mat(phi, (e1+e2,e1-e2)) = D*Mat(phi, (e1+e2,e1-e2))*D^-1). Mais bon je vois pas trop le rapport avec l'orthogonalité...
Bref, la fin de cet exo je paraît flou...
Si vous pouviez m'éclairer un peu,
merci d'avance !
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