Vecteurs propres associés à une forme quadratique

[invite0a2de183]

Svp, comment vous calculez les vecteurs propres des matrices associées à des formes quadratiques ? Parce que c'est pas le même cas qu'avec les applications linéaires !!
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[invite705d0470]

Non, c'est la même définition que pour les applications linéaires !
Déjà, est-ce clair pour toi que la matrice associée à une forme quadratique q sur un espace vectoriel de dimension n (réel par exemple), c'est celle de sa forme bilinéaire symétrique associée : , où l'on a et B une base. Si on note S cette matrice (symétrique réelle), alors on a dans la base B: .

Les valeurs propres de q sont donc bien les valeurs propres de cette matrice S, que tu peux calculer comme d'habitude (polynôme caractéristique par exemple)

[invite0a2de183]

Merci beaucoup, et même je me suis rendue compte que c'était la même chose et je les ai calculés normalement, maintenant c'est fixé merci !

[nathanap]

Bonjour,
Je suis tombé sur ce topic en faisant des recherches et je me permets de le déterrer car je pense que la réponse contient une erreur (ou alors c'est moi qui n'est pas compris quelque chose / qui me trompe, auquel cas j'aimerais être corrigé)

En effet, il me semble que contrairement au cas d'un endomorphisme dont les valeurs propres de la matrice ne dépendent pas du choix de la base, les valeurs propres d'une forme quadratique vont, elles, dépendre du choix de la base utilisée pour construire la matrice
Je dirais que seuls les signes de ces valeurs propres sont indépendants du choix de la base

Ai-je raison ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonsoir,

Tu as raison. La notion de "valeur propre d'une forme quadratique" n'a pas de sens. La seule chose qui fait sens, ce sont les valeurs propres de la matrice d'une forme quadratique dans une base donnée.
Les matrices qui représentent une même forme quadratique dans deux bases différentes ne sont en général pas semblables : elles sont congruentes https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_congruentes