Commutateur

[djhdoi1]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la récurrence de ce théorème faisant intervenir des commutateurs...



Je sais juste l'exprimer au rang n+1. Mais je n'arrive pas à passer de n à n+1


Pouvez-vous m'aider ?

Bien à vous !
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[djhdoi1]

A*[A^n,B]*C=(A^nB-ABA^n)*C

Mais je n'ai pas utiliser [A,C]=0 ...

Que faire ?

[djhdoi1]

Je remplace B par A puis [A,B] par C mais ça ne marche pas ...

[mach3]

déplacé en mathématiques.

mach3, pour la modération

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Montrez vos calculs, sinon on ne peut pas savoir où se trouve votre erreur.

[djhdoi1]

Je sais pas comment m'y prendre. J'arrive pas à utiliser [A,C]=0

[mach3]

Quel est la définition de [A,C] ? c'est surement dans le cours.
Du coup [A,C] = 0 , ça donne quoi d'après cette définition ?

m@ch3

[djhdoi1]

@mach3 : A commute avec C ; AC=CA.


J'essaye un truc :

[A,[A,B]=AAB-BAA=A^2B-BA^2

Pour C=,[A,B] on a :A^2B-BA^2=0 donc : A^2B=BA^2

On est loin de :

[mach3]

Donc à chaque fois qu'il y a CA dans une expression, on peut le changer en AC.
Peut-on faire quelque chose de similaire avec [A,B]=C , pour transformer les BA en quelque chose ?

m@ch3

[djhdoi1]

[A,B]=C
Donc :
(AB-BA)A=ABA-BAA=CA
(AB-BA)A*A=ABAA-BAAA=CAA
ACA*A*A=CAAA

Mais je me disperse...

[djhdoi1]

[A,B]=C
Donc :
(AB-BA)A=ABA-BAA=CA
(AB-BA)A*A=ABAA-BAAA=CAA
ACA*A*A=A*AAAA*C=A^n*C (1)

OR : (CA)AA=A(CA)A=AACA=AAAC=A^n-1*C (2)

Donc :

(1)=(2)

A^n*C = A^n-1 * C Donc A est nul ou je me suis trompé ...

[gg0]

Attention AB n'est pas égal à BA.
A[A, B] =AAB-ABA pas AAB-ABA.

[mach3]

[A,B]=C
Donc :
(AB-BA)A=ABA-BAA=CA OK
(AB-BA)A*A=ABAA-BAAA=CAA OK
ACA*A*A=CAAA là, pas OK, il y a un A qui disparait par magie

Mais je me disperse...oui, un peu, mais il y a de l'idée[/B]

[A,B]=C
Donc :
(AB-BA)A=ABA-BAA=CA
(AB-BA)A*A=ABAA-BAAA=CAA
ACA*A*A=A*AAAA*C=A^n*C (1) NON, encore des A qui apparaissent par magie

OR : (CA)AA=A(CA)A=AACA=AAAC=A^n-1*C (2)les 4 premiers c'est super, c'est une piste à suivre, mais après il y a des A qui apparaissent par magie

A chaque fois qu'on voit CA, on peut le remplacer par AC, donc A^n-kCA^k = AⁿC,
ça semble compris.

A chaque fois qu'on a BA, on peut remplacer par AB-C.

Il faut écrire [Aⁿ,B] et travailler dessus maintenant.
AⁿB-BAⁿ=...
On voit qu'il y a un BA, on le remplace par (AB-C), on développe, on voit qu'il y a un BA et un CA, on les remplace et on développe, etc.

m@ch3

[djhdoi1]

Donc : A^n-k*A^k*C = A*n*C,

Ca j'ai compris.

A chaque fois qu'on a BA, on peut remplacer par AB-C.

Il n'y a pas de BA mais du B*A^n

Donc je peux pas :

'il y a un BA, on le remplace par (AB-C), on développe, on voit qu'il y a un BA et un CA, on les remplace et on développe, etc.

Par ailleurs comment faire apparaître le "n" en facteur ?

[mach3]

Sauf erreur d'interprétation de ma part, A²=AA, A³=AAA, A⁴=AAAA, Aⁿ= AA..(n fois)..A

m@ch3

[mach3]

Donc : A^n-k*A^k*C = A*n*C,

Ca j'ai compris.

Attention A^n-kA^kC = AⁿC. Pas A^n-kA^kC = AnC

m@ch3

[djhdoi1]

comment faire apparaître le premier n en facteur ?2.png

Je suis bloqué à 2.png je vois pas comment conclure....

[mach3]

Suivre ce que dit le dernier paragraphe du message 13, ça va venir tout seul

m@ch3

[djhdoi1]

Pour la deuxième partie je dois utiliser le thorème de rolle ?