Anneau de polynôme et évaluation en √2

[DyoukAP]

Bonjour à tous et merci d’avance pour vos réponses. Voici le sujet de mon exercice :

Soit k un sous-anneau de R. Soit ev: k [X] → R qui a P associe son évaluation en √2. 1. Calculer le noyau Ker(ev) de ev pour k = R, k = Q et k = Z. Dans chaque cas, le noyau est-il un idéal premier de k[X] ? maximal de k[X] ?

Dans le cas où k=R, je trouve par démonstration assez simple que Ker(ev)=(X-√2) R[X].
Dans le cas où k=Q ou Z, j’ai essayé de partir comme pour trouver le noyau dans le cas où k=R, càd de prendre un élément du noyau et voir ce qui en découle, mais dans les deux autres cas je bloque, le fait que √2 ne soit ni dans Q ni dans Z me pose problème.

Merci d’avance,

DyoukAP
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[gg0]

Bonjour.

X-√2 n'est pas dans Q[X], mais X²-2 y est.
J'imagine qu'il faut comprendre que ev est la restriction à k[X] de l'évaluation définie sur R[X], sinon la question n'a pas de sens.
Sous réserves, vu que je ne suis pas spécialiste en algèbre.

Cordialement.

[DyoukAP]

Bonjour,

Oui effectivement c’est ce que je me suis dit.
Je suppose qu’on doit prendre le problème comme ça, mais il est défini comme j’ai pu le citer dans mon 1er message, dans le sujet.
Je me suis dit qu’il serait peut-être être pas mal de regarder quels polynômes pourraient être dans le noyau dans le cas ou K = Q, en avançant degré par degré. On voit bien qu’aucun polynôme de degré 1 n’est dans le noyau, puis après passer au degré 2, etc… pour ainsi peut être voir quelque chose de répétitif
Je ne sais pas si c’est la bonne méthode, mais c’est déjà un début.

Merci

[GBZM]

Bonjour,

On peut évaluer un polynôme de en n'importe quel élément de n'importe quelle -algèbre (et on obtient un élément de cette -algèbre).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

OK, GBZM, mais alors k est un corps, non ? Et ici, k n'est qu'un sous-anneau.
Autre question : Est-ce que c'est différent de ce que je disais (restriction au sous-anneau de l'évaluation définie sur le corps) ?

Cordialement.

[GBZM]

Non, n'a pas besoin d'être un corps et non, ce n'est pas en général la restriction de "l'évaluation définie sur le corps". Exemples : évaluer un polynôme réel en une matrice carrée de taille à coefficients réels, évaluer un polynôme à coefficients entier en un élément de .

[gg0]

OK.
Et j'avais mal lu l'énoncé, sans voir que ev change à chaque cas.

[GBZM]

Pour revenir à la question : il n'est pas difficile de trouver un polynôme unitaire de degré 2 dans le noyau de l'évaluation. Après, on peut utiliser la division euclidienne par ce polynôme.

[gg0]

Oui, j'en ai parlé dès le début, mais ça n'a pas l'air d'avoir inspiré le pp.

Cordialement

[GBZM]

Sauf erreur, je n'ai pas vu une seule fois le mot "division" dans tes messages.

[MissJenny]

bon mais k étant un corps, k[X] est principal donc on n'a pas vraiment à le redémontrer.

[GBZM]

est un corps ?

[gg0]

Je suis d'accord, GBZM, je n'avais pas encore parlé de division euclidienne. Mais il n'est pas revenu depuis 3 jours, et il éludait ma remarque.

[MissJenny]

est un corps ?

ah non c'est vrai... mais quelle idée aussi de l'appeler k ?

[DyoukAP]

Bonjour à tous, je n’ai pas pu revenir sur la discussion cette semaine… le Covid a frappé fort…
J’ai pensé à la division euclidienne par X*2-2 dans le cas où k=Q. (Les notations de l’énoncé sont assez hasardeuses je le reconnais..)
Dans ce cas là, en prenant P un élément de Q(X), il existe un unique couple (Q,R) de Q(x) tels que P=(X*2-2)Q+R où deg(P)>deg(R). Le but ici serait donc de montrer que R=0 ? Mais je ne vois pas comment le justifier…

Cordialement

[gg0]

Évalue en √2.

Cordialement.

[DyoukAP]

Ah mais oui tout est clair, je disais prendre P dans Q(X), mais je le prends dans le noyau. Merci.

Cordialement.