Unicité d'un automorphisme dans l'anneau ℚ[√2]

[inviteb1df0c53]

On a l'application f de ℚ[√2] dans ℚ[√2] qui à a+b√2 associe a-b√2, il faut démontrer que f est le seul automorphisme du corps ℚ[√2], distinct de l'identité de ℚ[√2]. Comment procéder?
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[invite23cdddab]

Déjà, si f est un automorphisme du corps alors on a nécessairement :

.

En effet, donc soit soit . Le cas donnant le morphisme nul. Ensuite, si f(1) = 1, on en déduit que f(p/q) = p/q pour p et q entiers, d'où le résultat

Montrons maintenant que l'on a nécessairement .



D’où le résultat