Existence et unicité : Que l'unicité seule suffit ?
Bonsoir,
Vous paraît-il juste de démontrer l'existence et l'unicité d'un certain élément en ne montrant que son unicité?
C'est ce que j'ai entendu dire par un prof mais je ne comprends pas. Quand on montre l'unicité on suppose l'existence. Dans ce cas on montre que si ça existe c'est unique. Mais cela prouve-t-il l'existence?
Merci d'avance pour vos réponses
Non... il y a des cas ou on peut montrer l'unicité de quelque chose qui n'existe pas.
Par exemple "il existe un unique rationnel strictement positif dont le carré est égal à 2"
Supposons qu'il en existe 2, notés a et b. Alors on a :
(a-b)(a+b) = a²-b² = 2-2 = 0
Comme a+b > 0, a-b=0
Ainsi a = b, donc ce nombre est unique... Problème, il n'existe pas
Quand tu démontres l'unicité, ça veut dire que SI il existe il est unique.
Existence : au moins 1
Unicité : au plus 1
[L'exemple message #3 (de Tryss) aurait dû être "il existe au plus un rationnel strictement positif dont le carré est égal à 2"]
Dernière modification par Amanuensis ; 21/04/2012 à 08h35.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Excellent exemple, qui répond parfaitement à la question !Envoyé par Tryss
Par exemple "il existe un unique rationnel strictement positif dont le carré est égal à 2"
Supposons qu'il en existe 2, notés a et b. Alors on a :
(a-b)(a+b) = a²-b² = 2-2 = 0
Comme a+b > 0, a-b=0
Ainsi a = b, donc ce nombre est unique... Problème, il n'existe pas
On peut le prolonger un peu et montrer que l'affirmation "S'il en existe n alors il en existe n + 1" ne montre pas qu'il en existe (le cas n = 1 est parfaitement illustré par votre exemple si on retire la condition "strictement positif".
Pour le cas général, toutes les conditions héréditaires qui ne sont pas vérifiées pour n = 1 (ou n = 0, ou n = ..., suivant le point de départ) donnent un exemple, qui sert à pièger les élèves qui vont trop vite dans les démonstrations par récurrence
Dernière modification par Médiat ; 21/04/2012 à 09h41.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'aurais dû ajouter : ce qui est précisément ce que démontre la démonstration qui suit, qui commence par supposer le contraire de "il existe au plus un", i.e., qu'il en existe au moins 2.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
Soyons précis.
L'existence desatisfaisant
L'unicité de
L'énoncé de l'unicité ne fait pas intervenir la formule magique «il existe».
Le résultat d'unicité prouvé par Tryss est formellement:
Voilà qui est propre et net, merci !
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
A un moment ou a un autre il faut écrire que a et b appartiennent à un certain ensemble (ici les rationnels positifs) sinon la formule ci-dessus est fausse.Le résultat d'unicité prouvé par Tryss est formellement:
Dernière modification par Médiat ; 21/04/2012 à 10h27.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Les propriétés des rationnels positifs sont les axiomes de la théorie dans laquelle je raisonne...
Je ne pense pas que le problème porte sur la justification de l'implication, mais dans la manipulation malencontreuse des quantificateurs.
C'eut été plus clair en le précisant, par exemple en écrivant
La rigueur n'a de sens que dans la rigueur. La réponse de Tryss est la réponse parfaite à l'interrogation de CosMayou ; je n'ai rien contre l'idée d'y introduire la rigueur, mais dans ce cas, il faut être rigoureux (désolé pour la lapalissade, mais elle s'impose).
Je ne serais pas outrageusement surpris, qu'arrivé à ce point de ce fil la compréhension du lecteur ait diminué par rapport au message de Tryss.
Dernière modification par Médiat ; 21/04/2012 à 12h19.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tout à fait d'accord, Médiat.
En fait, l'implication une fois écrite correctement :
est tout à fait correcte, comme toute propriété de la forme
Par contre, il faut distinguer cela de la preuve traditionnelle qui partant des propriétés que doit avoir un objet montre qu'il en existe un seul ayant des propriétés ("analyse/synthèse"). A un moment ou à un autre, l'existence est affirmée ne serait-ce qu'implicitement ("ce ne peut être que le point A").
Cordialement.
La réponse de Tryss est très loin d'être parfaite car le point de départ «Supposons qu'il en existe 2» n'a rien à voir avec un quelconque raisonnement d'unicité. Il ferait beau voir qu'on ait besoin de supposer l'existence d'un objet pour pouvoir raisonner.
Pas habitué au raisonnement par l'absurde ou décidé à porter l'argutie au rang d'art majeur ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour donner un exemple concret d'une preuve par récurrence fausse, on peut considérer la propriété
L'hérédité est mathématiquement vraie, en effet, si P(n) est vraie alors
Seulement, comme l'annonçait Médiat, P(0) n'est pas vérifiée, donc le raisonnement bien que correct dans l'hérédité, ne peut pas aboutir à une conclusion immédiate: l'absence d'existence du premier rang l'empêche.
Pire, dans le cas présent (c'est pour ça aussi que je l'ai choisi), il s'avère qu'aucun naturel ne vérifie cette propriété !
Et on peut le montrer par l'absurde.
S'il existe un naturel p (non nul puisque P(0) est fausse) qui vérifie la propriété (être divisible par 4), alors on l'utilise comme initialisation (ce qui manquait tout à l'heure) à une récurrence descendante semblable à celle faite précédemment:
- p existe et P(p) est vérifiée.
- Si pour
Conclusion de la récurrence: P(0) est vraie ...
C'est une contradiction qui infirme l'existence initialement supposée !
Conclusion de la preuve par l'absurde: aucun naturel de la forme
Ouf, comme quoi on n'est pas passé loin, à un "petit oubli" qu'est de vérifier l'initialisation (id est l'existence), d'un vrai contresens mathématique.
En espérant qu'un second exemple concret soit intéressant,
Snowey.
