Bonjour,
Ma question est simple, mais après m'être bouffé deux années de prépa je n'ai toujours pas le souvenir d'une telle démonstration :
Démontrez-moi l'existence et l'unicité de i (ou de l'ensemble des nombres imaginaires pour se la jouer moins rhétorique)
Merci !
PS : Pas trouvé sur google...
Difficile de répondrre à cette question car on peut la comprendre de plusieurs façon, par exemple en disant que (-i) joue exactement le même rôle que i ce qui fait 2 façons de "voir" l'ensemble des complexes ; pour être plus explicite, dans la construction des complexes par les couples de réels avec les bonnes opérations définies dessus, généralement on appelle i le couple (0,1), mais le couple (0, -1) aurait pu aussi faire l'affaire.Envoyé par Tbop
Mais on peut comprendre la question d'une autre façon (plus saine àmha), et effectivement il n'y a qu'un seul corps algébriquement clos de caractéristique 0 de cardinal identique à celui de IR.
Cela se démontre aisément quand on sait que les corps algébriquement clos de caractéristique 0 se caractérisent par une base de transcendance sur leur corps premier (qui est Q), et pour obtenir un cardinal identique à IR il faut une base de cette même dimension.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Exact, d'où ma parenthèse après la questionDifficile de répondrre à cette question car on peut la comprendre de plusieurs façon
Si je comprends bien ta démonstration, tu démontres l'existence et l'unicité du corps complexe qui implique ainsi l'existence et l'unicité de l'ensemble des imaginaires purs ?
Même avec cette précision, il peut y avoir plusieurs interprétationsExact, d'où ma parenthèse après la question
Oui, mais à condition d'être d'accord sur le sens du mot unicité, pour moi, un modèle unique dans un cardinal donné signifie que tous les modèles en ce cardinal sont isomorphes (dans le langage adéquat, qui est ici le langage des corps), et c'est bien le cas des corps de caractéristique 0 et algébriquement clos pour tous les cardinaux non dénombrables.
Je suis Charlie.
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Oui pardon. Comme on disait en jargon prépa "l'unicité modulo isomorphisme"
Salut !
ta question est vraiment pas claire...
qu'est ce que tu veux montrer concrètement ?
parceque dire que tu veux montrer l'existence est l'unicité de "x" n'as pas de sens puisque techniquement, tant que tu n'as pas prouvé que "x" existait tu as pas le droit d'en parler...
je veux dire par là que pour qu'il y ai qqch à montrer il faut que tu nous dise par exemple (si c'est bien cela que tu veux montrer) :
"je veux montrer qu'il existe un unique couple (K,i) ou K est un corps contenant R et i un element de K tel que R et i engendre K comme corps et i²=-1, ceci à unique isomorphisme près ie, si il existe (K',i') une autre solution il existe un unique isomorphisme de corps f:K->K' tel que f est l'identité sur R et f(i)=i' ", ou n'importe quoi d'autre avec "je veux montrer qu'il existe un objet .... vérifiant certaine propriété, et qu'il est unique dans un sens à préciser"
Bonjour Ksilver,
Ca, je suis bien d'accord
J'en profite pour te demander quel est la raison essentielle qui te fait préciser "unique" ?
Sachant que quand une structure possède un nombre fini d'automorphisme (n), il suffit d'enrichir le langage d'un nombre fini de symboles de constantes (n-1) pour qu'il n'ait plus qu'un seul automorphisme : l'identité ; c'est d'ailleurs ce que tu fais en ajoutant i dans le langage et en précisant f(i) = i'.
Sachant que pour des structures ayant un nombre infini d'automorphismes cette opération est souvent impossible, je suppose que tu dirais quen'est pas unique dans ton sens ; alors que je dis que
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je précise "unique isomorphisme près" parceque c'était le cas ^^
mon point de vue sur cette question était d'éssayer de considérer l'Objet i comme un objet d'une certaine catégorie, et la catégorie naturelle qui s'impose dans ce cas, c'est les "corps pointé" (ie les corps avec un element marqué). ce que je veux dire, c'est que je trouvais que le moyen "naturelle" de donner un sens à "i" c'est en tant que corps pointé car il n'existe que en tant qu'element de C.
à partir de là la notion naturel de morphisme de corps pointé est le morphisme de corps qui envoie l'element pointé sur l'element pointé. et le fait que le morphisme doit aussi envoyé R sur R (sans cela, on à pas non plus unicité du morphisme envoyant i sur i') viens du fait que le problème de dire que "K contiens R", "K est engendré par R et i" "i²=-1² dise qu'on ce place en réalité dans la catégorie des R algèbre pointé...
une fois ce cadre posé on avait l'unicité du morphisme, et "être unique à unique isomorphisme près" est une notion d'unicité bien plus forte qu'être unique à isomorphisme près...
d'un point de vue plus "logique" dire qu'on peut toujour ce débrouiller pour que le morphisme deviennent unique est une chose, mais en précisant qu'elle sont les conditions exacte à ajouter pour que le morphisme soit effectivement unique je donne bien une information suplaimentaire non triviale, (même si on sait que de telles conditions existe toujours...)
Je te retourne le compliment : "ta phrase n'est vraiment pas claire". "L'existence est l'unicité" ?parceque dire que tu veux montrer l'existence est l'unicité de "x" n'as pas de sens puisque techniquement, tant que tu n'as pas prouvé que "x" existait tu as pas le droit d'en parler...
J'ai même envie de dire qu'elle est d'une logique un peu caduque et alambiquée puisque tu la contredis toi-même quelques lignes après :
Dis comme cela, cela revient déjà à connaitre un peu la démonstration (comme disait mon prof de maths normalien : "Bien poser le problème c'est déjà faire une partie de la réponse !").Je veux montrer qu'il existe un unique couple (K,i) ou K est un corps contenant R et i un element de K tel que R et i engendre K comme corps et i²=-1, ceci à unique isomorphisme près ie, si il existe (K',i') une autre solution il existe un unique isomorphisme de corps f:K->K' tel que f est l'identité sur R et f(i)=i'
Mais tu l'auras compris je ne suis pas (ou plus) mathématicien donc ce sont des choses qui m'échappent un peu.
Je m'en remettais donc à votre autorité et au dialogue didactique pour tenter de comprendre ce que chacun attendait de l'autre. Ce qui s'est révélé être très efficace avec Médiat que je remercie une fois de plus.
Je pense de plus que repréciser que i doit évidemment vérifier i²=-1 dans mon "énoncé" était plus que dispensable est n'est pas la cause principale de sa formulation maladroite.
Je ne l'ai pas contesté
J'avais bien compris que ton point de vue était catégoricien. Mais cela ne m'explique toujours pas ce que cela ajoute d'essentiel de dire isomorphisme unique (hors du cadre des problèmes universels spécifiques des catégories)
En quel sens est-ce une condition plus forte d'unicité, en quoi
Et toujours faciles à mettre en évidence dans le cas d'un nombre fini d'automorphismes connus, par exemple pour le cas présent, tout élément non fixe par le deuxième automorphisme (celui qui n'est pas l'identité) convient.
PS : je ne critique pas, j'essaye de comprendre.
Je suis Charlie.
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Je te retourne le compliment : "ta phrase n'est vraiment pas claire". >>> pour faire plus simple : dis moi ce que tu entend par "i" et je te prouverai son existence et son unicité si elle sont vrai.
si tu me dit juste que "i est un nombres tel que i²=-1" je te répondrai que l'existence est assuré par la construction de C (qu'on définie par exemple par R[X]/(X²+1) ) et que l'unicité est fausse puisque (-i)²=-1 aussi.
En quel sens est-ce une condition plus forte d'unicité >>> par exemple, Quand tu as un objet qui est unique à isomorphisme non unique près, et que tu définie une structure supplémentaire dessus, cette structure peut dépendre du choix de l'isomorphisme est donc ne pas être canonique.
l'exemple le plus typique de problème de ce genre est le cas de la cloture algébrique et du groupe de galois absolue : la cloture algébrique est unique à isomorphisme non unique près et ca pose plein de problème concret... typiquement, le groupe de galois absolue d'un corps est un objet en général mal défini car si on change de cloture algébrique on applique une conjugaison au groupe, ces élements sont donc définie à conjugaison près uniquement... c'est essentiellement pour cela qu'on a que très peu d'espoire de trouver un jour des théorèmes permettant de décrire le groupe de galois absolue d'un corps de nombre : on ne peut accéder qu'à son abélianisée (théorie du corps de classe) ou à ses classes d'équivalence de représentations (les correspondances de Langlands) qui sont bien invariant par conjugaison.
ce qui apparait ici c'est que même si la cloture algébrique est unique, le fait de changer de cloture algébrique n'est pas anodins, alors que ce qu'on attend d'une bonne notion d'unicité c'est justement qu'on ne puisse pas "changer" l'objet qui est unique... et c'est l'unicité à unique isomorphisme près qui remplit en général ce rôle...
Bonjour Ksilver,
Je comprends ton explication, et je vois bien ce que cela peut amener d'important, voire de très important (d'ailleurs je n'ai jamais pensé que la notion de problème universel était sans intérêt), mais je la trouve assez éloignée de la notion d'unicité d'une structure et je ne comprends toujours pas ce que peut vouloir dire être plus ou moins unique pour une structure, une structure unique cela signifie qu'il n'y en a qu'une à isomorphisme près, je ne vois pas ce que pourrait vouloir dire "il y en à presqu'une, ou à peine plus qu'une".
Tu es d'accord que l'existence de plusieurs isomorphismes entre deux structures est equivalente à l'existence de plusieurs automorphismes dans cette structure et que cette notion est mieux capturée en qualifiant la structure en-soi plutôt qu'en la caractérisant par rapport aux structures isomorphes (je sais que je méloigne de la notion de catégorie).
Dans le cas particulier des complexes, dans le langage des corps il existe plein d'automorphismes de
Donc, pour revenir à la question initiale, je ne vois pas comment dire autre chose que
Merci encore de ton explication
Je suis Charlie.
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ce que peut vouloir dire être plus ou moins unique pour une structure >>> en ce qui me concerne "unique à isomorphisme près" ce n'est pas vraiment unique, ca veut juste dire que si il y en à d'autre, on peut toujours choisir un isomorphisme entre les deux mais on ne peut pas toujours identifier les deux objets : C en tant que corps est isomorphe à Cp, mais je pense que personne n'osera dire qu'on peut identifier C à Cp tellement l'isomorphisme est non canonique.
d'un point de vue un peu trop métaphysique à mon gout, on peut dire que quand un objet est unique à isomorphisme non unique prêt il peut avoir de nombreuse réalisation distincts (par exemple C, Cp, ou encore la cloture algébrique de Qp), alors que quand il est unique à unique isomorphisme près il n'as qu'une seul réalisation possible car si on ce donne deux réalisation elle sont isomorphe de facon canonique. d'une certaine facon c'est ce genre de chose qui le font dire que C en tant que corps n'est pas un objet intéressant, l'objet interessant c'est C en tant que corps topologique, ou que R algèbre qui eux sont bien défini à "unique isomorphisme pret" (enfin... à nombre fini d'isomorphisme près, mais comme tu l'as dit plus haut c'est plus ou moins la meme choses).
en fait, ce qui est important dans cette histoire c'est plus d'avoir "isomorphe à isomorphisme canonique pret" plutot que unique, mais il me semble bien que c'est quasiement la même chose (il doit suffir de rajouter quelques conditions à la structure pour passer de canonique à unique...)
bref tous ca pour dire que dans beaucoup de cas, "unique à unique isomorphisme pret" est une meilleur notion d'unicité que "unique à isomorphisme pret" donc quand on connait une façon naturelle de rendre unique l'isomorphisme ca coute rien de dire comment il faut faire...
Bonjour,
Désolé, mais je ne sais pas ce qu'est Cp ...
Je suis Charlie.
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J'ai trouvé : merci Google.
Mais dans ton exemple, si j'ai bien compris la définition de Cp, les corps C et Cp sont isomorphes en tant que corps (je te fais confiance sur ce point), et ne le sont plus lorsque l'on ajoute des distances différentes dans le langage, c'est à dire que C et Cp vérifient les mêmes formules, et même, les mêmes types du langage des corps, ce qui, pour moi, est une bonne raison de les identifier : le langage ne permet pas de les distinguer, même avec une infinité de formules.
Bref, j'ai compris ton point de vue, j'espère que tu comprends le mien.
Je suis Charlie.
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J'ai trouvé : merci Google. >>> je précise quand meme ce que je disais si jammais quelq'un d'autre souhaite nous lire :
Cp est le complété de la cloture algébrique de Qp (corps des nombres p-adique).
pour faire simple, c'est un corps algébriquement clos munie d'une valeur absolue au propriété très différente de celle de C (elle est ultramétrique) qui comme il a le meme cardinal que C lui est isomorphe (à cause de sombres histoires de base de transendance...). Mais les deux corps ont des propriété "naturelle"* très différente : il y à une injection naturelle de Qp dans Cp, les automorphismes continue de Cp sont exactement ceux qui stabilise Qp, et ils sont assez nombreux (infinité non dénombrable) mais assez bien compris (quoique, je sais pas si on sait donner une description complete du groupe d'automorphisme continu de Cp).
et quand on envoie les automorphismes de Cp en des morphismes de C au travers d'une bijection entre les deux on tombe obligatoirement sur des automorphismes "éxotique" de C (ie qu'on ne sais pas expliciter)
*le naturelle est à prendre ici dans un sens Naif : il est question "d'objet qui ce définisse bien et sont intéressant à étudier" comme l'est la conjugaison de C, et comme ne le sont pas vraiment les automorphisme éxotique de C.
mais sinon oui, je suis d'accord avec toi. d'un pur point de vue "language de la théorie des corps" ces objets sont indistinguable car isomorphe. Ceci dit je suis sûr qu'on doit pouvoir trouver une interprétation en logique d'une notion similaire à "l'unicité à unique isomorphisme près", j'ai l'impression que ca correspond à une sorte de "ca reste unique même si on enrichit le language en un sens à préciser" mais je ne suis pas suffisement callé en théorie des modèle pour me lancer plus profondement dans ce genre de réfléxion ^^
Nonsoir,
Je reviendrai sur la première partie, mais je peux dire rapidement quelques mots sur celle-ci :
L'existence d'un isomorphisme unique entre structures pour un même langage est équivalent à la non existence d'automorphisme différent de l'identité. En enrichissant le langage avec des symboles de constantes (avec des symboles de relation ou de fonction aussi, mais c'est moins facile à mettre en évidence), on diminue le nombre d'automorphismes (puisque l'on impose des points fixes), par contre, à vue de nez, je ne vois pas comment on peut augmenter le nombre d'automorphismes ; si une bijection est rendu unique par certains éléments du langage, ajouter de nouveaux symboles aux langage ne peut la rendre "moins unique".
Je suis Charlie.
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Disons : parce qu’un corps algébriquement clos est défini « à isomorphisme près » par sa caractéristique et le cardinal de sa base de transcendance sur son corps premiers. Dans le cas de
Il y a une injection naturelle de
Les automorphismes non forcément continus sont assez nombreux (infinité non dénombrable) mais assez bien compris (il me semble : permutation des éléments d’une base de transcendance (dont certains non définissables, ceux que tu appelles exotiques, je suppose), plus conjugaison).
Quand tu dis que cet aspect rend
Et dans l’autre sens ?
Est-ce que tous les automorphismes continus de
Question annexe : est-ce que le complété de la clôture algébrique est isomorphe à la clôture algébrique du complété ?
Je suis Charlie.
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Salut,
C'est un théorème que le complété de la clotûre algébrique de
Cordialement.
Bonjour martini_bird
Merci de l'information, puis-je déduire de ta formulation que ce n'est pas un cas général ?C'est un théorème que le complété de la clotûre algébrique de
Cordialement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'aurais tendance à dire oui, sans toutefois pouvoir te proposer de contre-exemples.
Cordialement.
oui, mais aussi le caractère ultramétrique de Cp et le fait qu'il soit de dimension infinie sur Qp.est-ce bien parce que dans un cas il n’y a qu’un seul automorphisme continue et une infinité non dénombrables dans l’autre
la preuve est il me semble général à tous les corps valué ultramétrique. Etant donné que les seuls corps valué complet non ultramétrique sont R et C, c'est général à tous les corps valué (=munie d'une valeur absolue)Merci de l'information, puis-je déduire de ta formulation que ce n'est pas un cas général ?
pour ce qui est des corps topologique non valué, le completé n'as enfait aucune raison d'être un corps donc pas de théorème généraux dans ce sans...
il y à correspondance entre les automorphismes de C et les bases de transcendances : si on fixe une base de transcendances de C un endomorphisme quelconque est définie par l'image de cette base, et c'est un automorphisme si et seulement si l'image est une base. mais les bases de transcendance de C sont des objet non explicites. Il me semble que C n'admet aucun automorphisme mesurable autre que l'identité et la conjugaison donc aucun n'est définissable, on les appelle en effet "éxotiques".Les automorphismes non forcément continus sont assez nombreux (infinité non dénombrable) mais assez bien compris (il me semble : permutation des éléments d’une base de transcendance (dont certains non définissables, ceux que tu appelles exotiques, je suppose), plus conjugaison).
question difficile là. la réponse est soit "oui" soit on ne sais pas à priori ^^Est-ce que tous les automorphismes continus de Cp sont définissables ?
je sais qu'il n'y a aucun automorphisme continu de Cp dont on n'as prouvé qu'il était non définisable. mais leur compréhenssion complete est un problème très complexe qui me dépasse encore et dont j'ignore si il est résolue ou non. mais ils sont quand meme nettement plus "sympatique" que les automorphismes discontinu de C... (NB : les Automorphismes continu de Cp correspondent aux élements du groupe de galois de la cloture algébrique de Qp sur Qp )
Bonsoir,
Je permet juste une petite intrusion: on a le théorème suivant:
si K est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle
ayant le même cardinal que le corps des nombres réels, alors
K est isomorphe au corps des nombres complexes.
La preuve utilise (ou bien est l'un des nombreux avatars de)
l'axiome du choix. La seule preuve connue de l'existence
d'un isomorphisme entre le corps des nombres complexes
et celui de la clôture algébrique des nombres p-adiques
utilise le théorème ci-dessus (ou une variante), ce qui en dit
long sur l'aspect extrêmement non canonique de cette identification
(en tous cas, on ne peut pas construire explicitement un tel
isomorphisme).
Une autre petite remarque: les automorphismes de corps
(et donc la non-unicité des extensions de corps)
sont le sujet d'une très grande partie de l'arithmétique
et de la géométrie moderne: théorie de Galois, théorie de
Galois différentielle, théorie du corps de classe
supérieure de Kato, etc. Pour ce qui est de l'unicité du corps
des nombres complexes, le seul énoncé raisonnable que je vois
est l'évidence même: une fois contruit le corps des réels R
(qui lui est unique, en tant que la complétion archimédienne
du corps des nombres rationnels), le corps des nombres
complexes C est la clôture algébrique de R, et est
donc unique modulo le groupe de Galois de C/R.
Cette non-unicité est liée au problème d'un choix d'une
racine carrée de -1 (par la théorie de Galois), ou bien
au choix d'une orientation du plan, ou encore, au choix d'un
générateur du noyau de l'exponentielle complexe (selon
que l'on préfère respectivement la géométrie algébrique,
la géométrie différentielle, ou bien la géométrie analytique
complexe). Le fait que le plan n'admette pas d'orientation
canonique est l'un des aspects intrinsèque de notre intuition
de ce qu'est un plan. Lorsque que l'on quitte cette
référence à la géométrie on perd la majeure
partie de la nature de cet objet: un autre exemple de ce type,
c'est l'existence d'une bijection entre l'espace affine réel de
dimension n>1 et la droite réelle: c'est vrai en théorie des
ensembles, mais cela suppose un abandon total de l'intuition
géométrique, et donc de la nature même de l'espace affine.
De même, regarder C comme un corps indépendament de R,
c'est oublier la nature même de C, ce qui est très intéressant
aussi (je trouve le théorème que j'ai cité plus haut très
impressionnant et très beau), mais n'est pas anodin du tout.
Cordialement,
Bonjour,
C'est ce que j'ai rappelé au message #2 et au message #18, avec une idée de la démonstration.
Au premier paragraphe vous rappelez que C est unique, et au deuxième vous dites qu'il ne l'est pas ...
Si l'on veut parler de non unicité, ce que l'on peut dire c'est qu'il existe un IR-automorphisme de C différent de l'identité, ce qui peut encore se dire autrement :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
