Raisonnement logique (quantificateurs)

[Scorpios]

Bonjour,

Je me permet de venir vers vous car j'ai besoin d'aide sur un exercice de maths.
Voici l'énoncé.
Un ensemble A ⊂ ℝ est dit ouvert si:
∀ x ∈A, ∃ε > 0 tel que ]x -ε ; x + ε[ ⊂ A
a)Montrer que ]0;1[ est ouvert.
b)En niant la définition ci-dessus, montrer que [0; 1[ n'est pas un ouvert.

Pour la a), je pense à ceci: ∀x∈]0;1[, on a 0<x<1.
Or, ε>0, on a donc: ε<x+ ε<1+ ε
et - ε<x- ε<1- ε
Après, je vois pas comment le prouver, même si ça me semble simple et évident quelque part...

b) Pour celle là, je vois bien que la négation est ∃x ∈A, ∀ε>0 tel que ]x-ε; x+ε[ ⊂ A
Mais je comprends pas pourquoi l'intervalle [0,1[ est cette fois fermé en 0. L'intervalle dans la négation doit-il être fermé en x-ε? Pour montrer qu'il n'est pas ouvert, je pense à un contre-exemple.

Voilà, merci d'avance pour toute aide!
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[invite52487760]

Bonjour,

Pour , soit , essayes de trouver tel que : . Par exemple, il suffit de prendre : ou bien : ou bien : ... Il y'a plusieurs façon de choisir .

[Khadija Ch]

On choisit ε aléatoirement ?

[gg0]

On te demande de prouver que ça marche, donc qu'il existe au moins un ε qui marche. En fait, si tu fais un petit dessin, tu verras qu'il y en a une infinité (une fois un choisi, tout ε plus petit convient). Donc on en choisit un qui va bien.

Pour b), la seule chose qui a changé, c'est en 0. Tu peux alors regarder ce que ça donne en 0.
Attention, ta négation (∃x ∈A, ∀ε>0 tel que ]x-ε; x+ε[ ⊂ A) est fausse. Si tu repense à la définition tu le comprendras facilement. D'ailleurs, cette phrase "∃x ∈A, ∀ε>0 tel que ]x-ε; x+ε[ ⊂ A" ne veut rien dire. Essaie de la lire.
La négation de "∃ ε>0 tel que propriété" est "∀ε>0 la propriété est fausse".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]