fonction discrete

[jeanlucligon]

Bonjour,
je me suis récemment posé la question suivante:
pour est-il possible que soit arbitrairement proche de 1 ?
Autrement dit existe-t-il un tel que pour tout on a ?
-----

[Resartus]

Bonjour,
Une fois corrigée votre inversion entre "il existe" et "pour tout" et < et >, la réponse est oui :
"Pour tout epsilon strictement supérieur à 0, il existe m et n t.q.


Cela équivaut à trouver un rationnel m/n de plus en plus proche de ln(3/2)

ce qui s'obtient par un déveioppement en fraction continue de ln(3/2)

On va trouver successivement 2/5, 13/32, 15/37, 178/439, etc.

[Resartus]

Oups, grosse erreur matinale de calcul...
C'est un développement de ln(3)/ln(2) qu'il faut faire, ce qui donne :
2/3, 5/8, 12/19, 41/65, 53/84, 306/485, 665/1054, etc.

[MissJenny]

2/3, 5/8, 12/19, 41/65, 53/84, 306/485, 665/1054, etc.

aucun de ces quotients n'est de la forme 3^m/2^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Ce sont les valeurs de m et n...
Par exemple 3^306/2^485 s'approche à 1/1000 de 1, 3^665/2^1054 à 4 10^-5, etc.

[stefjm]

Le choix de 2 et 3 est musical.
En montant les quintes 3/2, on retombe presque sur la montée des octaves 2.

Les différents écarts sont les comma.

3^2~2^3 , 9~8 , 2 quintes ~ 1 octaves, moche musicalement

3^5~2^8 , 243~256 , 5 quintes ~ 3 octaves , gamme pentatonique
3^12~2^19 , 531 441~524 288 , 12 quintes ~ 7 octaves , comma pythagoricien
3^53~2^84 , , 53 quintes ~ 31 octaves , comma Mercator

Une quinte : 3/2

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Comma_(musicologie)
https://www.assistancescolaire.com/e...cours/1_sci_28

[jeanlucligon]

Merci pour vos réponses qui m'amènent à une autre question sur la "vitesse" à laquelle 3^m/2^n peut se rapprocher de 1.
Pour un m donné quelle est le plus petit M>m au numérateur d'une des approximations en fractions continues de ln(3)/ln(2) ?
Et a quel point l'approximation en question est proche de ln(3)/ln(2) ?

[stefjm]

https://fr.m.wikiversity.org/wiki/In...ions_continues

[MissJenny]

Ce sont les valeurs de m et n...
Par exemple 3^306/2^485 s'approche à 1/1000 de 1, 3^665/2^1054 à 4 10^-5, etc.

ok je comprends. Du coup j'ai l'impression que le nombre 1 n'a pas un rôle particulier dans cette affaire et que la suite à double indice 3^m/2^n a tous les réels positifs comme valeurs d'adhérence.

[stefjm]

Le choix de 2 et 3 est musical.
3^2~2^3 , 9~8 , 2 quintes ~ 1 octaves, moche musicalement

Moche musicalement mais assez unique en arithmétique!
3^m=2^n+1 n'a que deux solutions entières :

3=2+1, 3/2=1+1/2 en fraction egyptienne
et
3^2=2^3+1, (3/2)^2=2+1/2^2

https://www.wolframalpha.com/input?i=3%5Em%3D2%5En%2B1