Montrer que certains rationnels sont entiers

[Alphasaft]

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice, que je n'arrive pas à résoudre :

Soit x, y et z des rationnels tels que x+y+z, xy+xz+xy soient entiers. Montrer que x, y et z sont entiers.
(Sachant que le cours venant avec s'articule autour du fait que si P est un polynôme à coefficients entiers et r = p/q une racine rationelle de P, alors q divise le coefficient dominant de P ; en particulier si P est unitaire alors r est entier)

Le polynôme qui me vient immédiatement à l'esprit c'est bien sûr P(r) = (r-x)(r-y)(r-z), qui est unitaire, et à coefficients entiers si et seulement si xyz est entier. Or justement je n'arrive pas à montrer ce dernier point, et je me demande s'il n'y a pas une erreur dans l'énoncé, notamment à cause du fait que l'exercice est composé d'autres questions similaires, comportant toutes deux hypothèses séparées par "et" ; or ici pas de "et" et une virgule étrangement placée, ce qui me fait me demander si il ne manque pas un "et xyz".

Voilà voilà, merci d'avance pour vos réponses.

PS : Dans le cas où l'énoncé est complet, serait-il possible de me donner une indication ?
-----

[MissJenny]

regarde peut-être du côté des polynômes symétriques et de ce qu'on appelle "relations entre coefficients et racines".

[gg0]

Bonjour.

Oui, il manque "et xyz" à ton énoncé.

Cordialement.

[Alphasaft]

Pour MissJenny, j'essayais effectivement de chercher une solution dans cette veine mais justement il me manquait l'hypothèse que l'image par (ou , je ne sais pas comment vous notez les polynômes symétriques élémentaires) de x,y et z (xyz donc) soit entière pour pouvoir conclure simplement avec le polynôme (r-x)(r-y)(r-z) d'inconnue r.

Pour gg0, merci, ça me semblait effectivement un brin étrange dans la formulation, mais comment en êtes vous venu à cette conclusion (contre-exemples ? Ou autre raisonnement ?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La connaissance de x+y+z et xy+xz+xy ne détermine pas xyz, alors que la connaissance de x+y+z, xy+xz+xy et xyz détermine x, y et z; donc les hypothèses sont intuitivement insuffisantes. Mais je n'ai ni argument formel, ni contre-exemple. Seulement la rédaction baroque de l'exercice.

Cordialement

[MissJenny]

comme contre-exemple tu peux prendre x = 1/3 y = 1/3 z = 31/3 . Alors x+y+z = 11 et xy+yz+xz = 7 (mais xyz = 31/27 n'est pas entier)

[gg0]

Bien vu !.......