Tous les nombres entiers sont égaux.

[invitef5907930]

J'ai trouvé ça dans un recueil de blagues mathématiques.
Tous les entiers strictement positifs sont égaux Pour montrer cela il suffit de prouver que pour tout n, des entiers A et B tels que max(A,B) = n vérifient A = B. Faisons une récurrence. Pour n = 1, max(A, B) = 1 implique forcément que A = B = 1. Supposons à présent que pour tout n, on ait la proposition formulée. Alors, si A et B vérifient
max(A,B) = n+1, on a max(A−1,B−1) = n, et par hypothèse de récurrence A − 1 = B − 1, donc A = B. L’erreur est quelque part dans la dernière phrase...
Pour ceux intéressés par le reste du livre : http://myismail.net/docs/prepas/spe/..._blagues31.pdf
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[inviteea028771]

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Rien n'indique que A-1 est bien un entier strictement positif, en particulier, pour n=2, max(2,1) = 2, mais on ne peut pas appliquer l'hypothèse de récurrence, puisque 1-1=0 qui n'est pas un entier strictement positif

[jiherve]

Bonjour,
Max(m,n+1) = n+1 donc Max(m-1,n) = n ce qui ne dit rien sur m et n sauf que m <= n+1 simplifier en m = n+1 est farfelu.
L'ensemble des entiers naturels comprend le zéro pour la plupart des mathematiciens, donc la première proposition est fausse!
JR

[Deedee81]

Salut,

On peut toujours adapter le problème pour que la première proposition soit vraie (par exemple en précisant "les entiers positifs non nuls". Mais il y a aussi l'explication de Tryss.

P.S. il y a d'autres démonstrations par récurrence fausse comme ça. J'en avais déjà lu, mais je ne m'en souviens plus. Quelqu'un en connait ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

Je n'ai pas bien compris l'idée profonde derrière ce truc.
N'a-t-on pas besoin de la notion de nombre entier déjà pour faire des raisonnements par récurrence ?
C'est à dire que pour faire un raisonnement par récurrence on a besoin de l'hypothèse que les entiers existent (sous leur forme habituelle).
N'est-on pas en train de contredire l'hypothèse que les nombres entiers existent dès le départ, et donc de construire un énoncé contradictoire et donc une logique incomplète qui permet de prouver tout et n'importe quoi ?

[invitef5907930]

Effectivement, le raisonnement nie sa propre possibilité.
Le raisonnement de Tryss est également juste, quelle que soit l'hypothèse de départ (par exemple, tous les entiers supérieurs à p sont égaux), rien n'indique que A-1 et B-1 vérifient l'hypothèse de départ, et on peut opérer de la même façon qu'avec 1et 2 en choisissant A=p+1 et B=p.

[Médiat]

Salut

P.S. il y a d'autres démonstrations par récurrence fausse comme ça. J'en avais déjà lu, mais je ne m'en souviens plus. Quelqu'un en connait ?

Tous les paquets de crayons sont constitués de crayons de la même couleur :

Vrai pour les paquets de 1 crayon.
Si c'est vrai pour n alors comme tout paquet de (n+1) crayons est égal à l'union de deux paquets de n crayons chacun monochromes et de la même couleur que leur intersection, donc le paquet de (n+1) crayons est monochrome.

[invitef5907930]

Pour deux crayons l'intersection est vide.
Il y a une autre lacune : un paquet de n+1 crayons n'est pas l'union de deux paquets de n crayons.

[Médiat]

Heureusement que ce raisonnement est fautif

Il y a une autre lacune : un paquet de n+1 crayons n'est pas l'union de deux paquets de n crayons.

Ben si, puisque n supérieur ou égal à 1

[invitef5907930]

Honte sur moi ^^.