Carré modulo p

[Alphasaft]

Bonjour, j'ai cette question sur laquelle je bute depuis un certain temps :

Soit p un nombre premier tel que , montrer, en utilisant le théorème de Wilson (qui indique que si p est un nombre premier alors ), que -1 est un carré modulo p.

Je suppose qu'il faut utiliser le théorème de Wilson en disant que montrer que -1 est un carré modulo p revient à montrer qu'il en est de même pour (p-1)!, mais de là... à priori la condition de congruence sur p permet de prendre 4 | p-1, mais je ne vois pas très bien où cela peut mener par rapport au produit (p-1)! - qui n'est pas un carré et ne permet donc pas directement de conclure. J'ai essayé d'y ajouter un multiple de p du type p!, mais ça n'a rien donné.

Est-il possible de me donner un indice ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Essayons avec p=13.
(p-1)!=1*2*3*4*...*10*11*12 = 1*2*3* ... *(-3)*(-2)*(-1) est bien un carré (le fait que p-1 soit multiple de 4 permet d'avoir un nombre pair de signes -).
Je te laisse rédiger la preuve générale.

Cordialement.

Rappel : souvent, un exemple permet de mieux comprendre.

[Alphasaft]

Effectivement, de là la preuve générale n'est qu'une formalité.
J'avais pensé a prendre des exemples, mais de manière générale j'oublie toujours qu'une congruence peut être négative (i.e x congru à -3 par exemple), alors qu'on travaille bel et bien dans Z, ce qui m'a empeché d'y voir clair.
Merci beaucoup pour votre aide !