groupe et action

[werqulic]

Bonjour j' ai besoin d'aide pour cette question
On condidere l' action d' un groupe G sur un ensemble X
Si le groupe est d' odre 12, peut- on avoir un orbite de cardinal 5, de cardinal 4? Quelle est l'ordre du stabilisateur?
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[GBZM]

Bonsoir,
Si le groupe est d'ordre 12, que peut-on dire de l'ordre du stabilisateur d'un élement (qui, rappelons-le, est un sous groupe de ) ?
Quelle relation y a-t-il entre l'ordre de , l'ordre du stabilisateur de et le cardinal de l'orbite de ?

[werqulic]

Bonjour,
On peut dir que l'ordre du stbilaisateur divise 12.
Justement je ne trouve psa cette relation( melange de card et d'ordre) Je sais juste que card(G)=car(Gx)*card(orbite(x) ).

[GBZM]

Ne sais-tu pas que l'ordre d'un groupe, c'est son cardinal ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[werqulic]

Donc la reponse est que il ne peut pas y avoir une orbite de card5 mais il peut y avoir une orbite de card4? l'odre du stab est un diviseur de 12

[werqulic]

J'ai une autre question, par rapport au morphisme de groupe, soit G et G' deux groupe d'ordre de p et q avec pgcd(p,q)=1
comment montrer qu' il existe un unique morphisme de groupe de G->G'?

[GBZM]

Que peux-tu dire de l'ordre (du cardinal, si tu préfères) de l'image de G dans G' ?

[werqulic]

Que c'est egale a l'odre de G'

[GBZM]

Bien sûr que non. Réfléchis mieux, et pense au premier théorème d'isomorphisme.

[werqulic]

L'image est un sg de G', donc son ordre divise l' ordre de G'

[GBZM]

Je t'ai suggéré de penser au premier théorème d'isomorphisme. Tu le connais ?

[werqulic]

C'est ce que j'ai dans mon cours je ne vois pas en quoi cela m'aide a repondre a la question

[GBZM]

Premier théorème d'isomorphisme : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27isomor phisme#Premier_th%C3%A9or%C3%A 8me_d'isomorphisme
C'est bien la situation que tu considères, n'est-ce pas ?
Tu as déjà vu que l'ordre de l'image de f divise l'ordre de G'.
Reste à faire intervenir l'ordre de G et utiliser l'hypothèse que les ordres de G et G' sont premiers entre eux.