Représentation de groupe et action de groupe

[invite6754323456711]

Bonjour,

La base qui me sert d'information
http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_...%A9matiques%29

Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe G opère sur l'ensemble E si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action,, du groupe dans le groupe symétrique de l'ensemble. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe G.

Ce morphisme est lié à l'action par



pour tous .

Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note .

Représentations d'un groupe fini

...

On arrive à se mélanger :

De quel ensemble parle t'on,
Quel sont ses éléments
De quelle structure il est question


Représentation de groupe et action de groupe sont -il deux concepts semblables ?

Par exemple

Une représentation du groupe G est la donnée d'un espace vectoriel V et d'un morphisme de groupe ρ de G vers le groupe linéaire GL(V). Une représentation est notée (V, ρ) ou parfois et abusivement V. Ici il est question de deux objets : un espace vectoriel et un morphisme de groupe.

Dans le cas des du groupe symétrique il n'est plus question que du morphisme : Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe G. C'est quoi le groupe G dans ce cas ? il est différents du groupe symétrique : d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.


Patrick
-----

[invite4ef352d8]

Salut !


une action d'un groupe G sur un ensemble E c'est une application G*E -> E qui a (g,x) associe g.x vérifiant certain axiome qui reviennent à dire que l'application g-> (x->g.x) ) est un morphisme de groupe G dans S(E). on ne fais pas vraiment de différence entre "l'action" (c'est à l'application G*E ->E) et l'application G->S(E). (moralement, c'est la même application, c'est juste un problème de curification)


une représentation d'un groupe G c'est une action "linéaire" d'un groupe G sur un espace vectoriel c'est à dire tel que pour tout g dans G, x->g.x soit un endomorphisme de E. C'est équivalent à la donnée d'un morphisme de G dans Gl(E).


dans les deux cas, il faut normalement désigner la représentation par un triplet : le groupe G, l'ensemble E (resp l'espace vectoriel V) sur lequel est l'action, et le morphisme rho de G dans S(E) (resp GL(V) ).

mais c'est un abus de notation très fréquent de parler de "la représentation V" (où V est juste l'espace vectoriel) ou encore de "la représentation Rho", (où Rho est le morphisme associé).
C'est exactement comme quand on parle d'un groupe G : normalement on devrait tout le temps ecrire (G,+) mais c'est un abus courant de parler juste de G...

[invitebe0cd90e]

Une action d'un groupe G sur un ensemble E c'est un morphisme de G dans l'ensemble des bijections de E dans lui meme Bij(E). partant de là tout dépend de la nature de E, les deux situations les plus fréquentes étant:

- Si E est fini, Bij(E) est notre bon vieux groupe symétrique
- Si il se trouve que par hasard E est en fait un espace vectoriel, on a forcement envie de s'interresser aux actions de groupes qui "respectent" la structure vectorielle. Donc de regarder les morphisme de G dans GL(E). Puisque GL(E) est un sous groupe de Bij(E), c'est bien un cas particuleir d'action de groupe.

Le fait est qu'on reserve le vocabulaire "representation" a cette derniere situation. Autrement dit, une representation est une action linéaire d'un groupe sur un espace vectoriel. Mais dans les deux cas l'idée est la même: essayer de comprendre un groupe "abstrait" à travers son action sur des objets qu'on sait bien manipuler.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ok merci cela me permet d'y voir plus clair. C'est une peu comme pour comprendre une classe on étudiait le comportement de ses objets (instance de classes).

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je pense que l'une des difficultés de ù100fil est la confusion, qu'on voit partout, entre ce que j'appellerais un "groupe abstrait" et un ensemble particulier muni d'une structure de groupe.

C'est assez visible quand on parle par exemple d'une action de groupe comme un morphisme entre un "groupe" et le "groupe" des bijections ! Le premier usage réfère à un groupe abstrait, le second à un ensemble ayant une structure de groupe.

Dans ma manière de voir (peut-être pas orthodoxe), un groupe abstrait, c'est juste une table de multiplication. À ce sens là, il n'y a qu'un seul groupe à 1 élément, un seul à 2 éléments, 2 à quatre élément, un seul à 15, etc. parce qu'il n'y a qu'une seule table de multiplication, à permutations près, ayant les propriétés requises pour 3 éléments, par exemple.

C'est un peu comme les entiers : on ne considère pas que dans "deux carottes" ou "deux poireaux" le mots "deux" représente deux nombres différents. C'est un "nombre abstrait".

Les notions d'action ou de représentation (linéaire) parlent de la relation entre un groupe abstrait et des "exemples concrets" de ce groupe (abstrait), exemples qui sont des ensembles munis d'une structure de groupe ; comme deux carottes forment un exemple concret du cardinal 2.

Edit : Croisement vu trop tard...

[invite6754323456711]

Dans ma manière de voir (peut-être pas orthodoxe), un groupe abstrait, c'est juste une table de multiplication.

La plupart des notes sur le sujet manque effectivement d'exemple simple permettant de démystifier l'usage cette notion d'action de groupe.

Si on prend comme exemple les éléments du groupe de symétrie (D4) qui permet de dresser la table de multiplication.

Ces huit transformations qui laisse le carré globalement invariant peuvent donc être décrite simplement par l'action sur les couleurs ou sur les chiffres.

à par exemple r1 j'ai la permutation (v,r,b,j)
r2 --> (v,b)(r,j)
...

Dont un usage la classification inter-parentale des tribu comme les Warlpiris page 31 - 32


Patrick

[Amanuensis]

Il y a aussi un problème avec les noms des groupes.

D₄ est un bon exemple. Au sens abstrait, c'est , cette écriture étant peu ambigüe, les groupes cycliques étant facilement perçus comme "abstraits".

Une représentation en 2D est le groupe de symétrie du carré, oui.

Mais il y a deux représentations 3D distinctes, chacune pouvant être présentée comme le groupe de symétrie d'un polyèdre particulier.

Du coup, utiliser D₄ en 3D est ambigu.

Par exemple dans http://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group, ils distinguent bien un nom de groupe abstrait Dih₄, et utilisent D₄ pour la représentation planaire (le groupe de symétrie du carré euclidien). Mais un peu plus loin ils indiquent qu'on peut aussi utiliser D₄ pour l'un des deux groupes ponctuels 3D qui est une représentation de Dih₄ (sans dire d'ailleurs qu'il y en a un autre...).

On se retrouve avec D₄ désignant deux représentations différentes de Dih₄ (une en 2D, une en 3D), et un problème pour nommer l'autre représentation 3D (le plus souvent ignorée).

Par ailleurs, l'article cité indique qu'en algèbre ce même groupe abstrait est noté D₈, ce qui rajoute une belle couche d'ambiguïté.

Note : J'appelle (convention perso) Les deux représentations 3D respectivement "les rotations du prisme d'ordre 4", et "les symétries de l'anti-prisme d'ordre 2", que je note (toujours perso), et

[invite6754323456711]

Bonjour,

Dans le contexte de groupe ce qui semble premier est la notion d'application issu de la théorie des ensembles et caractérisant la loi de composition application de E x E vers E et satisfaisant les trois axiomes (Associativité, élément neutre et élément symétrique)

L'objectif serait-il de classifier ces applications en fonction de propriétés les différentiant ?

L'objectif de l'action de groupe découle t-il de la notion de conjugaison ?



L’application g = φf φ⁻¹ qui est la conjuguée de f par φ. Si X et X' sont munis d’une structure algébrique (telle que groupe, espace vectoriel, ...), si φ est un isomorphisme pour cette structure et si f est un morphisme, alors g sera aussi un morphisme qui possédera exactement les mêmes propriétés "géométriques" que f (en qualifiant de géométrique une propriété qui s’exprime à l’aide de la structure de X).

Si on note Iso(X) le groupe des isomorphismes de X (pour la structure envisagée), et si φ est un isomorphisme de X dans X' , alors la conjugaison par φ

Iso(X) → Iso(X')
f→ φ ◦ f ◦ φ⁻¹

est un isomorphisme de groupe. En particulier si X = X' , c’est un automorphisme de Iso(X)

Ce qui se généralise au automorphisme intérieur de G qui au lieu d’un groupe d’application Iso(X) on considère un groupe quelconque G, et a ∈ G. L’application

t_a : G → G
g → aga⁻¹

est un automorphisme de G.

On cherche à avoir une image « géométrique » de G ? c’est-à-dire de trouver un morphisme injectif de G dans S(X) (groupe des permutations d’un ensemble X).

Patrick

[invite58633955]

Bonjour,
La notion d'action de groupe comme elle a été definie est une notion completement naturelle.
L'exemple typique est S_n (le groupe symétrique a n-element) qui agit sur {1,...,n}.
A une permutation de S_n tu associe la bijection qui lui correspond sur {1,...,n}, bon cet exemple est sans doute un peu "misleading" parce que S_n est deja construit comme cela.
Mais tu peux avoir d'autres actions par exemple si tu regarde l'espace vectoriel de dimension n tu peux faire agir S_n sur les elements de la base, en les permutant et tu obtiens ainsi un action de S_n sur V, qui se trouve etre linéaire. C'est precisement ce qu'on appelle une representation (de S_n).

Maintenant a quoi ca sert? A plein de choses en fait, il est plein de domaines ou des questions se formulent et se resolvent naturellement dans la théorie des representations de groupes (j'ai en tête la théorie des nombres par exemple, sous une forme moderne la loi de reciprocité quadratique correspond a relier les representations de groupe de décomposition d'un nombre premier p dans Q[racine q] la ramification de p dans ce meme corps de nombre, et c'est sous cette forme que les vrais questions apparaissent).

Donc il n'y a pas d'objectif unique, juste une théorie riche, qui s'applique a beaucoup de contextes.

Soit dit en passant, quand tu as une action d'un groupe G sur un ensemble S tu peux toujours fabriquer une representation de G, en considerant l'action de G sur k[S] (lespace des fonctions de S dans k) donnée par g.f(x)=f(g^{-1}x}
En ce sens, tu ne perds pas d'information en etudiant les representations d'un groupe plutot que toutes les actions du groupe. Dans la pratique, un groupe agira souvent de manière sur un ensemble, et la representation associé ne sera pas forcement elle interessante.

[invite6754323456711]

Bonjour,
La notion d'action de groupe comme elle a été definie est une notion completement naturelle.
L'exemple typique est S_n (le groupe symétrique a n-element) qui agit sur {1,...,n}.
A une permutation de S_n tu associe la bijection qui lui correspond sur {1,...,n}, bon cet exemple est sans doute un peu "misleading" parce que S_n est deja construit comme cela.

Les définitions tel que le groupe S_n agit sur En = {1, . . . , n} par l’application Sn × En → En , (s, i) → s(i) ne me pose pas de problème particulier

Ce que je cherche à comprendre/identifier c'est la finalité visé

Maintenant a quoi ca sert? A plein de choses en fait, il est plein de domaines ou des questions se formulent et se resolvent naturellement dans la théorie des representations de groupes (j'ai en tête la théorie des nombres par exemple, sous une forme moderne la loi de reciprocité quadratique correspond a relier les representations de groupe de décomposition d'un nombre premier p dans Q[racine q] la ramification de p dans ce meme corps de nombre, et c'est sous cette forme que les vrais questions apparaissent).

Donc il n'y a pas d'objectif unique, juste une théorie riche, qui s'applique a beaucoup de contextes.

Soit dit en passant, quand tu as une action d'un groupe G sur un ensemble S tu peux toujours fabriquer une representation de G, en considerant l'action de G sur k[S] (lespace des fonctions de S dans k) donnée par g.f(x)=f(g^{-1}x}
En ce sens, tu ne perds pas d'information en etudiant les representations d'un groupe plutot que toutes les actions du groupe. Dans la pratique, un groupe agira souvent de manière sur un ensemble, et la representation associé ne sera pas forcement elle interessante.

Patrick

[invite58633955]

Ben, je peux te parler par exemple des endroits ou cela intervient en theorie des nombres...
En fait ca intervient de manière clé un peu partout.
Et d'une manière un peu provocatrice on peut dire que la théorie des nombres modernes, c'est juste essayer de comprendre les representations de Gal(\Q bar/Q)

[invite6754323456711]

Ben, je peux te parler par exemple des endroits ou cela intervient en theorie des nombres...

C'est formulations sont elles correctes ? :

Si E est un ensemble muni d’une structure donnée, les isomorphismes Iso(E) opèrent fidèlement sur E : (ρ : Iso (E) → S(E) )

Si E est un K-espace vectoriel, GL(E) opère fidèlement sur E (ρ : GL(E) → S(E) est l’injection canonique et g.x = g(x)).

Si G est un groupe, E un K-espace vectoriel, et ρ : G → GL(E) un morphisme, G opère "linéairement" sur E. On dit donc que ρ est une représentation linéaire de G.

Si G est un groupe, alors G opère sur lui-même par translation à gauche, c’est-à-dire en posant : ∀g ∈ G, ∀x ∈ X, g.x = gx

Patrick

[invite6754323456711]

C'est formulations sont elles correctes ? :

Si E est un ensemble muni d’une structure donnée, le groupe des isomorphismes Iso(E) opère fidèlement sur E : (ρ : Iso (E) → S(E) )

Correctif

Patrick

[invite58633955]

C'est formulations sont elles correctes ? :

Si E est un ensemble muni d’une structure donnée, les isomorphismes Iso(E) opèrent fidèlement sur E : (ρ : Iso (E) → S(E) )

Ben la comme ca, ca depend de la structure, mais pour les structures auquelles tu pense de manière naives (groupes ev, espace topologique)...oui
Mais bon il est tout a fait possible que Hom(E), ne soit pas composé d'applications ensemblistes, mais bon c'est un peu anecdotique vu les questions qui te preocupent.

Si E est un K-espace vectoriel, GL(E) opère fidèlement sur E (ρ : GL(E) → S(E) est l’injection canonique et g.x = g(x)).

Oui encore une fois.

Si G est un groupe, E un K-espace vectoriel, et ρ : G → GL(E) un morphisme, G opère "linéairement" sur E. On dit donc que ρ est une représentation linéaire de G.

C'est la définition.

Si G est un groupe, alors G opère sur lui-même par translation à gauche, c’est-à-dire en posant : ∀g ∈ G, ∀x ∈ X, g.x = gx

Oui (si X=G).

[invite6754323456711]

Ben la comme ca, ca depend de la structure, mais pour les structures auquelles tu pense de manière naives (groupes ev, espace topologique)...oui

En fait ce qui me questionne est d'identifier ce qu'apporte cette relation de morphisme. Pourquoi ne pas travailler directement avec la structure de l'ensemble tel que par exemple GL(E) ? pourquoi avoir besoin de construire ρ : G → GL(E) un morphisme, afin que G opère "linéairement" sur E si c'est la structure GL(E) qui nous intéresse ?


Patrick

[Amanuensis]

En fait ce qui me questionne est d'identifier ce qu'apporte cette relation de morphisme. Pourquoi ne pas travailler directement avec la structure de l'ensemble tel que par exemple GL(E) ? pourquoi avoir besoin de construire ρ : G → GL(E) un morphisme, afin que G opère "linéairement" sur E si c'est la structure GL(E) qui nous intéresse ?

Par exemple parce qu'on va pouvoir parler du même groupe G comme opérant sur autre chose que E, comme par exemple sur l'ensemble des bases de E, ou sur E*, etc.

[invite58633955]

Ce n'est pas la structure de GL(E) qui nous interesse (encore que), mais bien celle du groupe G.
Etudier les represenations de G, nous permet de comprendre G, ainsi que (evidemment) ses representations.
Ce morphisme en question sert a etablir une certaine ressemblance entre G et un sous groupe de GL(E).

Construire des representations d'un groupe donné n'est pas aisé en general, comment ferait tu pour le monstre par exemple.
De la meme manière construire des representations galoisiennes est en soit deja assez complique.
Tous les groupes n'arrivent pas naturellement comme des sous groupes de GL(E), et meme pour cela, il peut y avoir plusieurs facon de les "realiser" comme des sous groupes de GL(E), se demander comment, est une question interessante.

[invitec7c23c92]

En fait ce qui me questionne est d'identifier ce qu'apporte cette relation de morphisme. Pourquoi ne pas travailler directement avec la structure de l'ensemble tel que par exemple GL(E) ? pourquoi avoir besoin de construire ρ : G → GL(E) un morphisme, afin que G opère "linéairement" sur E si c'est la structure GL(E) qui nous intéresse ?

Bonjour,

pour compléter ce qui a été dit :

La théorie des représentations de G, c'est exactement la même chose que la théorie des k[G]-modules.

- Si on a un k[G]-module V, alors V est a fortiori un k-espace vectoriel, et l'application rho : G->GL(V) telle que rho(g)(x)=g.x est une représentation de G.
- Réciproquement, si V est un k-ev, alors se donner une représentation rho :G->GL(V), c'est la même chose que munir V d'une structure de k[G]-module, en posant g.x=rho(g)(x) et en prolongeant par linéarité.


La théorie des représentations s'emploie alors à classifier les k[G]-modules, par exemple si G est fini on sait que tout k[G]-module est somme directe de représentations irréductibles piochées dans une liste finie, et l'établissement de cette liste est cruciale pour la compréhension de G.
Donc à travers ce travail on obtient des informations sur G lui même.


La théorie des représentations est un pilier de la théorie des groupes, dont les concepts et la puissance sont indispensables à pas mal de résultats un peu avancés. Elle établit un pont entre les groupes (structure assez pauvre sur laquelle on a peu de prise) et l'algèbre linéaire (k[G]-modules, structure riche avec beaucoup d'angles d'attaque).
Un peu comme la fonction zeta (ou les fonctions L), en établissant un pont entre nombres premiers et analyse complexe, est un pilier indispensable de la théorie analytique des nombres.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Merci pour toutes ces précisions. J'en arrive à la compréhension que l'action de groupe permet d'établir une forme de lien entre l'algèbre et la géométrie.

Pour un élément σ du groupe S(X), le fait que σ vérifie σ 2 = Id_X est une propriété algébrique qui s'exprime uniquement à l'aide de la loi de groupe tandis que les formulations qui utilisent les propriétés de σ en tant que application tel que par exemple le fait que σ soit une transposition est une propriété géométrique.

Il y a correspondance entre une propriété « purement algébrique » et une propriété « géométrique » de σ. L'étude de l'une permet de comprendre l'autre avec en plus qu'un même groupe peut opérer sur différents ensembles pouvant avoir une structure riche (l'action respectant la structure).

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'ai continué mon parcours dans la "botanique" des groupes abstraits, algèbre de groupe et la théorie de leurs représentations. J'ai l'impression que la notion de groupe abstrait fait plus référence à une notion de syntaxe/forme et que leurs représentations en sont des modèles.

J'ai l'impression de me retrouver dans cette diversité de concept lorsque j'arrive à reconnaître inconsciemment une forme/propriété axiomatique qui m'est devenue familière.

Existe-t-il un lien avec la théorie des ensembles ou avec un langage et symbolique première ?

Patrick

[invitebe0cd90e]

Oui, en fait la théorie des groupes est une théorie au sens rigoureux/logique, et chaque groupe (qu'il soit "abstrait" ou "concret") est un modèle de cette théorie.

[invite6754323456711]

Oui, en fait la théorie des groupes est une théorie au sens rigoureux/logique, et chaque groupe (qu'il soit "abstrait" ou "concret") est un modèle de cette théorie.

La théorie des groupes c'est l'axiomatique qui le définit ? abstrait et concret ne deviennent t-il pas confondu dans le sens ou ce sont des modèles. Une matrice c'est aussi une symbolique abstraite qui vérifie des propriétés syntaxiques non ?

Patrick

[invitebe0cd90e]

Oui, c'est ca, ce sont les axiomes. Et je suis d'accord, pour moi la distinction abstrait/concret pour les groupes est assez subjective. par contre je ne vois pas pour les matrices, je ne pense pas qu'une matrice toute seule puisse etre un modele de quoi que ce soit d'intéressant.

[invite6754323456711]

par contre je ne vois pas pour les matrices, je ne pense pas qu'une matrice toute seule puisse etre un modele de quoi que ce soit d'intéressant.

La notion de matrice est souvent utilisé comme représentant d'action naturelle, une interprétation matricielle de la représentation.

Patrick

[Amanuensis]

pour moi la distinction abstrait/concret pour les groupes est assez subjective.

Pas pour moi. Un groupe de rotation, c'est concret (c'est un groupe de "machins" qui ont des propriétés supplémentaires). Une table de multiplication, c'est abstrait. Il y a une zone grise, oui (mais je n'appelle pas ça "subjectif"').

La table de multiplication de S3, c'est abstrait (= le plus petit groupe abstrait non commutatif). S3 c'est dans la zone grise. Le groupe des symétries de R² qui conserve un triangle équilatéral, c'est concret.

Dire que le groupe se symétrie du triangle équilatéral est "le plus petit groupe non commutatif", ça fait bizarre, par exemple. (C'est "une représentation du...")

[invite6754323456711]

Pas pour moi. Un groupe de rotation, c'est concret (c'est un groupe de "machins" qui ont des propriétés supplémentaires).

Si on ne s'intéresse qu'aux propriétés de groupe ce n'est qu'un changement de symbole. La forme qui décrit les groupes est toujours présente. Bien souvent pour moi l'abstrait devient concret car je me suis familiarisé avec la forme.

Patrick

[invitebe0cd90e]

Quand je disais "subjectif" ca ne voulait pas dire que chacun pouvait avoir des avis completement contradictoire Je voulais dire que ce sont des adjectifs "francais" que les gens emploient parce que les autres gens les comprennent intuitivement, mais pas des notions mathématiquement bien définies.

Or la question se placait dans un cadre logique de théorie des modèles. je disais donc que de ce point de vue la distinction abstrait/concret n'etait pas pertinente.

[invite6754323456711]

je disais donc que de ce point de vue la distinction abstrait/concret n'etait pas pertinente.

Je dois être cablé à l'envers ;-(, j'ai du mal à faire la distinction que fait Amanuensis. Je n'arrive a comprendre quelque chose que si je reconnais une forme abstraite qui s'exprime dans un langage primitif.

Patrick

[Amanuensis]

Je vais prendre un exemple pratique : le logiciel GAP donne des noms et des références à des groupes "abstraits". Si on lui demande LES groupes de taille 8, il répond qu'il n'y en a que 5, et les listes, genre C8, D8, Q8, etc.

Autre exemple, si on dit LE groupe de Klein, on parle d'une seule "chose", et ce n'est pas les symétries du rectangle.

À l'opposé, quand je vois écrit "LE groupe de Lorentz est un sous-groupe du groupe de Poincaré", ça m'agace : ce qu'on peut dire c'est qu'ils y a toute une collection de sous-groupes du groupe de Poincaré qui sont isomorphes au groupe de Lorentz.

Pareil pour "C2 est un sous-groupe du groupe de Klein", il y a trois sous-groupes du groupe de Klein isomorphes à C2...

Le point que je soulève est un point de vocabulaire. Si on ne fait pas attention, on fiche des articles définis là où ça a peut de sens, et distinguer "abstrait" (= table de multiplication) et concret (groupe ayant une structure supplémentaire) aide beaucoup.

Je serais intéressé par une alternative à cette manière de résoudre un problème qui me paraît bien réel, plutôt que les plates contradictions de jobhertz.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Si je prend par exemple l'ensemble des matrices de même type. Soit un langage qui est un ensemble de symboles de trois types : constantes, fonctions, relations, c'est à dire le langage des groupes : L={0,+,-} où 0 est un symbole de constante, + un symbole de fonction binaire et - un symbole de fonction unaire. Avec les notations "x+y" et "-x" au lieu de "+(x,y)" et "-(x)"

L'ensemble des formules suivantes :

1/ ∀ x, ∀ y, ∀ z, (x+y)+z = x+(y+z)
2/ ∀ x, 0+x = x+0 = y
3/ ∀ x, x+(-x) = 0

je change de symbolisme

(opposé) − x = (−a_ij )m×n .
(addition) x + y = (a_ij + b_ij )m×n .
(soustraction) x − y = (a_ij − b_ij )m×n .

La L-structure satisfait toujours les trois axiomes.


Patrick