Représentation de groupe et action de groupe

[Amanuensis]

Oui, et alors ?
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[invite6754323456711]

Oui, et alors ?

Je ne vois plus la distinction qui est faite entre groupe abstrait et groupe concret. Il sont tous deux des modèles qui satisfont une même théorie.

Patrick

[Amanuensis]

Je ne vois plus la distinction qui est faite entre groupe abstrait et groupe concret. Il sont tous deux des modèles qui satisfont une même théorie.

Si tu prends une théorie (décrivant un groupe) dont tous les modèles sont isomorphes, alors par "groupe abstrait" j'entends la théorie, et par "groupes concrets" les modèles.

Par exemple un groupe abstrait fini peut être décrit par une présentation finie, ce qui doit être proche d'une description par une théorie.

Par exemple , qui décrit D8, revient à poser (entre autres) les axiomes (j'imagine qu'il faut décrire le langage avec r et f comme constantes...).

[Amanuensis]

PS : Le groupe des 8 matrices 2x2 laissant invariant un carré est une représentation (modèle ?) de D8. Une autre représentation, distincte, est obtenue avec des matrices 3x3 comme symétries du prisme à base rectangulaire non carré (sauf erreur). Chacun de ces ensembles de matrices respectent les axiomes, mais sont des ensembles différents, donc pour moi des groupes différents (et isomorphes).

Je ne vais pas dire que deux ensembles sont "le même ensemble" parce qu'ils ont le même cardinal (=isomorphes pour la structure d'ensemble), et pas plus que deux ensembles distincts sont "le même groupe" parce qu'ils sont isomorphes pour la structure de groupe.

Simple question de cohérence de vocabulaire, il me semble.

[invite6754323456711]

Si tu prends une théorie (décrivant un groupe) dont tous les modèles sont isomorphes, alors par "groupe abstrait" j'entends la théorie, et par "groupes concrets" les modèles.

Dans le cas ou les modèles ne sont pas isomorphes ? D'après cet article c'est chose rare pour les groupes :

Remarque. Cela signifie qu’un morphisme est de façon purement probabiliste une chose rare chez les groupes. Effectivement, si chez les espaces vectoriels de dimension finie, deux espaces son isomorphes si et seulement si ils ont même dimension, la classification des groupes à isomorphisme près est beaucoup plus complexe et beaucoup plus variée. Il existe par exemple 6 groupes d’ordre 8 deux à deux non isomorphes.

Patrick

[Amanuensis]

Dans le cas ou les modèles ne sont pas isomorphes ?

Tu ne vas quand même pas dire que deux groupes non isomorphes "sont le même groupe" parce qu'ils répondent à une même théorie, non ?

C'est quoi la question exactement ?

PS : Il n'y a à ma connaissance que 5 groupes d'ordre 8, pas 6.

[invite6754323456711]

C'est quoi la question exactement ?

Ce qui différencie les groupes non isomorphes sont des propriétés qui ne sont pas les axiomes de groupe. Pourquoi les appelle t'on groupes concrets et la théorie groupe abstrait ? C'est peut être qu'une question de vocabulaire auquel il faut se familiariser.

Patrick

[Amanuensis]

Ce qui différencie les groupes non isomorphes sont des propriétés qui ne sont pas les axiomes de groupe. Pourquoi les appelle t'on groupes concrets et la théorie groupe abstrait ? C'est peut être qu'une question de vocabulaire auquel il faut se familiariser.

Ce n'est pas le vocabulaire qui est important, on peut le présenter autrement, dire "à isomorphisme près". Ce qui importe c'est l'idée. Quand dans la citation l'auteur parle de "classification des groupes à isomorphisme près", et qu'il écrit qu'il n'y a que [5] groupes d'ordre 8, le classement ne concerne pas les groupes de matrices, ou de permutation, ou autre, mais les "groupes à isomorphisme près", ce que j'appelle "groupe abstrait". Quand on dit "groupe de Klein", on parle de tous les groupes non cycliques de 4 éléments, sous un seul nom "groupe de Klein" ; quelle est le domaine sémantique de ce nom? Pour moi, c'est un groupe abstrait, domaine auquel n'appartiennent pas des instances particulières comme un groupe de matrices qui y serait isomorphe.

Mais ce n'est peut-être pas important à ta question de fond, mais quelle est-elle à ce stade, au-delà de points de vocabulaire ?

[invite6754323456711]

Mais ce n'est peut-être pas important à ta question de fond, mais quelle est-elle à ce stade, au-delà de points de vocabulaire ?

La question est bien dans la compréhension de cette distinction entre la notion de groupe abstrait et groupe concret. Dans mes lectures et visualisation de conférence souvent les conférenciers parlent de saut conceptuel important d'avoir distinguer par exemple les groupes de transformations (groupe concret) de la notion de groupe abstrait (sans définir ce qu'ils entendent par groupe abstrait). Le groupe cyclique serait abstrait alors que le groupe des permutations (les bijections de E sur lui-même) d'un ensemble E serait concret

Patrick

[Amanuensis]

D'un côté les classes de groupes modulo isomorphisme, de l'autre les instances. Où est le problème ?

Comme les cardinaux, qui sont des classes pour les isomorphismes d'ensemble (bijections). Ou les ordinaux, qui sont les classes pour l'isomorphisme d'ensembles bien ordonnés.

Au passage, "groupe cyclique" ne désigne pas nécessairement des groupes abstraits. Mais si on écrit "le groupe cyclique à 7 élément", on réfère au groupe abstrait. Comme quand on écrit le cardinal 7 ou l'ordinal septième.

[Médiat]

Just my two cents (pour renforcer les remarques de Amanuensis) :
En tant que logicien (et non d'algébriste), je distingue plusieurs situations :
1) La théorie (au sens logique), on y parle de groupes abstraits, dire qu'il existe 17 groupes vérifiant ceci et cela voulant toujours dire "à isomorphisme près"
1a) La théorie des groupes qui est une théorie ni complète ni catégorique, qui admet des modèles en tous les cardinaux (sauf 0)
1b) La théorie des groupes finis, qui n'est pas formalisable au premier ordre
1c) La théorie des groupes de cardinal n qui pour n = 1, 2 et 3 est complète et ne posséde qu'un seul modèle, non complète pour les autres valeurs de n.
1d) La théorie des groupes de cardinal n pour chacune des classes d'isomorphisme, évidemment complète et ne possédant qu'un seul modèle.

2) Les modèles (généralement issus d'autres branches des mathématiques), ou groupes concrets, l'expression "à isomorphisme près" n'est plus implicite, elle est même généralement exclue, car n'ayant pas de sens (sauf pour le modèle-théoriste bien sur).

[invite7863222222222]

Dans mes lectures et visualisation de conférence souvent les conférenciers parlent de saut conceptuel important d'avoir distinguer par exemple les groupes de transformations (groupe concret) de la notion de groupe abstrait (sans définir ce qu'ils entendent par groupe abstrait).

Bonsoir, vous auriez un exemple concret (ca permettra d'être plus précis peut-être) d'un document où ceci a été lu ainsi ?

[invite6754323456711]

D'un côté les classes de groupes modulo isomorphisme, de l'autre les instances. Où est le problème ?

Au passage, "groupe cyclique" ne désigne pas nécessairement des groupes abstraits. Mais si on écrit "le groupe cyclique à 7 élément", on réfère au groupe abstrait. Comme quand on écrit le cardinal 7 ou l'ordinal septième.

Qu'est ce qui différencie les classes de groupe, le nombre d'éléments ? Elles sont toutes des modèles de la théorie de groupe.

Soit le langage des groupes : L={0,+,-}. Je prend un ensemble E et je défini le 0, le + et le -. J'obtiens une interprétation de L. Dans ce domaine que sont les groupes cela correspond à une une instance ?

Patrick

[Amanuensis]

Qu'est ce qui différencie les classes de groupe, le nombre d'éléments ?

Pas seulement. La table de multiplication.

Deux groupes de 4 éléments par exemple : {1, a, a², a³} d'un côté, et {1, a, b, ab} avec a²=b²=1 et ab=ba de l'autre. Ce n'est pas la même table.

Soit le langage des groupes : L={0,+,-}. Je prend un ensemble E et je défini le 0, le + et le -. J'obtiens une interprétation de L. Dans ce domaine que sont les groupes cela correspond à une une instance ?

On obtient un modèle de la théorie des groupes. Pour savoir quel groupe cela représente, il faut des informations supplémentaires sur les propriétés de l'opération. Par exemple est-elle commutative ou non ? Plus E est grand, plus il y a de possibilités et plus il faut d'informations.

Prend le langage des bons ordres L={>} ; tu prends un ensemble E infini dénombrable et tu définis l'ordre. Tu obtiens une interprétation de L. À quel ordinal cela correspond-il ? Ta question est du même acabit.

[Amanuensis]

Pas seulement. La table de multiplication.

Deux groupes de 4 éléments par exemple : {1, a, a², a³} d'un côté, et {1, a, b, ab} avec a²=b²=1 et ab=ba de l'autre. Ce n'est pas la même table.

En écrivant les éléments (1, x, y, z) la première c'est



La seconde



Pas moyen de permuter x, y et z dans la seconde table pour obtenir la première (permuter ne changerait pas le fait qu'il n'y ait que des 1 sur la diagonale) , les tables sont donc différentes, les deux groupes ne sont donc pas isomorphes.

[invite6754323456711]

les deux groupes ne sont donc pas isomorphes.

C'est la recherche de classification des groupes qui conduit à identifier des relations (d'équivalence ?) afin de la partitionner. Une classe (d'équivalence) correspondrait donc à la notion de groupe abstrait ?

Patrick

[Médiat]

C'est la recherche de classification des groupes qui conduit à identifier des relations (d'équivalence ?) afin de la partitionner.

Pas uniquement, dès que l'on s'intéresse à une théorie on s'intéresse aux classes d'isomorphisme de ses modèles (logique classique du premier ordre).
Dans le cas fini, il est toujours possible d'écrire une théorie qui ne possède qu'un seul modèle "à isomorphisme près", c'est à dire qu'il n'y a qu'une seule classe d'isomorphisme parmi ses modèles.

Une classe (d'équivalence) correspondrait donc à la notion de groupe abstrait ?

Oui, Une classe d'isomorphisme = Une théorie complète = Un groupe abstrait.

[invite6754323456711]

Bonjour,

OK

Merci à tous

Patrick