Suites

[Lola424]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour une question d'un exercice. Voici l'énoncé : Soit a un réel strictement positif. On définit la suite (Un) par récurrence de la façon suivante : U1 = 1 et pour tout n >=1, Un+1 = a^Un. On note fa : x --> a^x.
On suppose que a<1. Montrer que la suite (U2n) est croissante et la suite (U2n+1) est décroissante.

J'avais pensé faire une récurrence en montrant que : U2n <= U2n+1 en appliquant la fonction fa sauf que celle-ci est décroissante du coup je n'obtiens pas ce que je veux. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Attention à bien lire l'énoncé. Tu peux poser v_n=u_2n; et tu dois montrer que la suite v est décroissante, donc pas U_2n <= U_2n+1, puisque u_2n+1 n'est pas un v_n, mais v_n<=v_n+1 soit u_2n<=u_2(n+1)=u_2n+2.
Le fait que f_a est croissante est justement ce dont tu auras besoin pour prouver, par récurrence, que v est décroissante.
A toi de faire, détaille ta démonstration, et si tu bloques, on t'aidera.

Cordialement.

[Lola424]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse, j'ai rédigé la récurrence et voici ce que j'obtiens :

Je pose : Vn = U2n

Montrons que : Vn<=Vn+1 soit U2n<=U2n+2

Initialisation : si n=1 : U2=a et U4=a^a^2, donc la propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : on suppose au rang n : Vn<=Vn+1 soit U2n<=U2n+2
montrons au rang n+1 : Vn+1<=Vn+2 soit U2n+2<=U2n+4

On a : U2n<=U2n+2, on applique la fonction fa : a^U2n>=a^U2n+2

Sauf que là je suis bloquée car je n'obtiens pas : U2n+2<=U2n+4 et je n'ai pas le bon sens des inégalités... Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[gg0]

Voyons, un peu de sérieux ! Comment obtient-on V_n+1 à partir de V_n ?

Tu n'as encore rien essayé, attendrais-tu qu'on fasse ton travail à ta place ?

NB : Utilise f_a, plutôt que les puissances. C'est plus facile à écrire et lire.

[A voir en vidéo sur Futura]