Variables aléatoires et indépendance

[Lili720]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant:
Soit X une variable aléatoire de loi géométrique sur N de paramètres a appartenant à ]0,1[
(autrement dit P(X=k)=a(1-a)^k , avec k entier naturel). On désigne par Q et R le quotient et le reste de la division de X par un entier p>=2. Montrer que les variables aléatoires Q et R sont indépendantes et déterminer leurs lois.

Selon moi, Q est un entier naturel et 0=< R<p , car X=pQ+R. De plus, j'ai trouvé que P(Q=q,R=r)=P(X=pq+r)=a(1-a)^k
Mais je n'arrive pas à prouver l'indépendance...
Quelqu'un aurait une idée ?
-----

[gg0]

Bonjour.
II te reste à calculer P(Q=q) et P(R=r).
Bon travail !

[Lili720]

Avec la formule des marginales j'ai trouvé
P(Q=q)= somme pour k allant de 0 à p-1 de P(Q=q,R=r)
Et P(R=r)= somme pour k appartenant à N de P(Q=q,R=r)
Cela semble-t-il correct?
Merci

[gg0]

Non.
D'ailleurs dans tes deux sommes, il n'y a pas de k !! Ça donne P(Q=q) = p*P(Q=q,R=r) qui n'a aucun sens puisque P(Q=q) ne dépend pas d'un r inconnu.

Je te conseille de prendre un exemple, avec par exemple p=4 et q=7.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lili720]

J'ai compris mon erreur et j'ai réussi
Merci beaucoup !!

[gg0]

Très content pour toi.

Cordialement