Indépendance de deux variables aléatoires

[invitea47ed71f]

Bonjour,

J'ai deux variables aléatoires X et Y, avec E(X)=E(Y)=0. J'aimerai montrer que celles-ci sont indépendantes.

J'ai trouvé une symétrie s qui laisse invariante les lois de distributions de X et de Y tel que s(X)=X et s(Y)=-Y
Du coup, j'en déduit que E(XY)=E(s(X)s(Y))=-E(XY)=0.
(On peut même aller plus loin: formellement, pour tt n,k, E(X^n Y^(2k+1))=0).
Mais ça ne suffit pas pour montrer que X et Y sont indépendantes, on est bien d'accord: Est-ce que qqun aurait un contre exemple?

Dans l’hypothèse ou je réussi à trouver une autre symétrie t tel que cette fois-ci t(X)=-X et t(Y)=Y, est ce que ça sera suffisant?
(à ce moment, on aura pour tout n,m, E(X^n Y^m)=0 ). Si non, vous avez un contre exemple?


Sachant que X et Y sont données par des moyennes (N tirages) de variables aléatoire indep de même loi, je peux déjà invoquer le théorème centrale limite pour N grand. Mais je n'ai vraiment pas l'impression que l'argument "N grand" est nécessaire pour la question que je me pose (sans rentrer du tt dans les détails).

Merci!
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[gg0]

Bonjour.

le fait que des variables soient décorrélées n'implique pas l'indépendance. Donc il te faut entrer dans le détail de la fabrication de X et Y. Ce que tu dis à la fin permet de montrer l'indépendance si X est une fonction de la moyenne de N variables, Y fonction de la moyenne de N autres variables et que les 2N variables sont globalement indépendantes. Si ce n'est pas le cas, il faut examiner de plus près la situation, mais c'est mal parti.

Cordialement.

[invitea47ed71f]

J'en ai bien conscience!

Pour savoir de quoi on parle, je numérote:

H1: Il existe une symétrie s qui laisse invariante les lois de distributions de X et de Y tel que s(X)=X et s(Y)=-Y
(donc pour tt n,k, E(X^n Y^(2k+1))=0, et même plus...)

H2: Il existe en plus une symétrie t qui laisse invariante les lois de distributions de X et de Y tel que t(X)=-X et t(Y)=-Y
(donc pour tt n,m, E(X^n Y^m)=0, et même plus...)

H3: X et Y sont données par des moyennes (N tirages) de variables aléatoire indep de même loi et on se place "dans la limite N grand"
De manière plus précise: X =1/N sum(x_n) et Y=1/N sum(y_n) sont tirés de N variables indep de meme loi (et non 2N): a priori, à chaque tirage, x_n et y_n sont liés.


H1 ne suffit pas pour avoir l'indépendance.

H2 non plus? Quel type de phénomène peut on avoir?

H3 ne marche pas non plus?

[gg0]

Je ne comprends pas trop ce que tu appelles "une symétrie". peux-tu expliquer ça en termes de variables aléatoires ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea47ed71f]

Pour moi c'est une fonction f qui laisse invariante les distributions de probabilité ( P(X=a) = P(f(X)=a) et P(Y=b) = P(f(Y)=b) pour tout a,b). Par contre, ce n'est pas forcément l'identité pour une réalisation de la variable aléatoire: en gros on a pas forcément f(a)=a et f(b)=b.

Dans mon cas, avec s et t, j'ai:
s(a)=a s(b)=-b
t(a)=-a t(b)=b


J'espère être clair?

Je peux aussi rentrer plus dans les détails, mais je pense que ça n'apporterait pas grand chose...
En gros X+Y est un bruit que j'aimerais bien réduire au maximum.
X est obligatoire, mais je peux optimiser Y.

J'aimerai montrer que dans certains cas (quand j'ai ces "symétries"), X et Y sont indépendants. Alors, pour avoir un "bruit" X+Y minimal, j'ai intérêt a prendre Y=0.

Ca me sembl(ait) assez clair quand le vecteur X,Y est gaussien, mais je ne vois pas trop pourquoi j'ai besoin de N grand pour conclure...

[invitea47ed71f]

En gros X+Y est un bruit que j'aimerais bien réduire au maximum.
X est obligatoire, mais je peux optimiser Y.

En fait la question est peut être tout simplement mal posé: Pour un bruit gaussien, "réduire le bruit" a un sens évident (c'est diminuer la variance). Mais pour le reste, c'est sans doute une notion à définir au cas par cas?

[gg0]

Si c'est pour diminuer la variance de X+Y, la décorrélation suffit, car dans ce cas, Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

[invitea47ed71f]

Oui bien sur, j'avais l'impression que je n'avais pas besoin du th centrale limite, mais en fait si: Sans me mettre dans ce cadre, la question (variable "plus ou moins bruité") n'a tout simplement pas de sens!



Merci!