Indépendance de deux variables aléatoires ?

[invite744de606]

Salut,

J'ai une question qui m'embête toujours et me rend confus. elle concerne l'indépendance de deux variables aléatoires continues et gaussiennes: X et Y.

On suppose que X et Y sont construites à partir de la moyenne d'une fonction stochastique .

: une fonction continue en x à valeurs dans IR, qui dépend d'une variable aléatoire continue .


et


x et y deux vecteur du domaine d'existence de et l'échantillon représente N réalisations indépendantes de .

Nous avons un résultat du théorème centrale limite qui nous confirme que X et Y sont deux v.a gaussiennes., et que lorsque N tend vers l'infini, tend vers .

Pouvez-vous confirmer que X et Y sont indépendantes ?

Sinon, quelle(s) condition(s) satisfaire pour qu'elles le soient ?

Merci infiniment.
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[invite1e252b6d]

slt désole de ne pas vous répondre mais est ce que vous pouvez me répondre j'ai posté un truc sur proba stat c'est comment déterminer une densité d'une variable qui est en fonction d'une autre variable merci

[inviteae4072e1]

Suffit de simplement vérifier la propriété d'indépendance de 2 variables aléatoires

[invite744de606]

Suffit de simplement vérifier la propriété d'indépendance de 2 variables aléatoires

Tu n'as pas répondu à la question ))

Pouvez-vous confirmer que X et Y sont indépendantes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae4072e1]

Critère : si la fonction de répartition de X est de classe C1 par morceaux sur IR et est, d'autre part, continue sur IR alors la dérivée de la fonction de répartition de X est une des densités de probabilité de X.

Il n'y a pas unicité de la densité de probabilité.

[invite744de606]

Critère : si la fonction de répartition de X est de classe C1 par morceaux sur IR et est, d'autre part, continue sur IR alors la dérivée de la fonction de répartition de X est une des densités de probabilité de X.

Il n'y a pas unicité de la densité de probabilité.

X et Y sont deux v.a gaussiennes.

Ce que tu as mentionné ne répond pas à ma question malheureusement.

Rappel: je cherche à déterminer si X et Y sont indépendantes ou non sachant qu'elles sont gaussiennes et ont été construites à la base de moyenne d'une fonction stochastique F(x,w).

Je ne pense pas que la réponse est évidente...

[invite30f06b89]

Beaucoup de choses m'échappent

qui dépend d'une variable aléatoire continue

ça ça n'a aucun sens mais je crois comprendre que F est à trajectoires continues.
Ensuite les sommes qui definissent X et Y sont finies ?
En quoi le TCL permet-il de dire que X et Y sont gaussiennes ? (le TCL nous renseigne sur la limite en loi de la somme renormalisée par )

[invite744de606]

En quoi le TCL permet-il de dire que X et Y sont gaussiennes ? (le TCL nous renseigne sur la limite en loi de la somme renormalisée par )

[source]
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...central_limite

Le théorème central limite (parfois appelé théorème de la limite centrale) établit la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne.

Revenons à nos moutons: soient F(.,W) une fonction stochastique à valeurs dans IR; soient x <> y, deux vecteurs du domaine de déf. de F; W est une v.a continue / E[W] est fini.

Soit un ensemble fini formé de N observations indépendantes de la v.a W.





Résultat :

D'après le TCL, puisque X et Y sont deux sommes de variables aléatoires, sur le même espace de probabilité et suivant la même loi (celle de F(.,W)), alors X et Y convergent en proba vers N(m1,s1) et N(m2,s2) lorsque N tend temps vers l'infini.

Question :

Est-ce que X et Y sont indépendantes ou non?
Est-ce que le fait d'utiliser le même ensemble de réalisation de W qui est dans notre cas l'ensemble I, a un impact sur la dépendance de X et Y ?

Encore flou?

[invite30f06b89]

Merci je connais le TCL

Ca c'est faux déjà c'est la limite en loi et pas en proba dans le TCL (c'est un exo classique que de montrer que le TCL ne peut pas impliquer la CV en proba en utilisant le théorème du 0-1 de Kolmogorov) et il faut renormaliser par et pas par N.

Est-ce que X et Y sont indépendantes ou non?
Est-ce que le fait d'utiliser le même ensemble de réalisation de W qui est dans notre cas l'ensemble I, a un impact sur la dépendance de X et Y ?

Encore flou?

Je vois pas le rapport avec le TCL (tu parle de X et Y ou de leur limite en loi ?)
Quant à l'histoire de l'ensemble de réalisation de w je vois pas de quoi tu parle désolé.
Mais si ta question c'est quels sont les processus dont les lois marginales sont indépendantes alors on tombe pas sur grand chose d'intéressant (les produits tensoriels de mesure c'est plutôt pauvre par rapport à la théorie générale des processus on a même pas le brownien avec ce genre de construction)

[invite744de606]

Je crois que je dois reformuler tout plus rigoureusement pour que tu puisses me suivre ou plutôt deviner ce que je veux dire.

Par contre, l'histoire de diviser par Racine(N) au lieu de N, me prouve qu'on ne parle pas de la même chose !!!

Commençant par cette question d'abord pour que s'aligner sur une même droite.

0. Est-ce que tu as compris comment X est construite ?

1. Si OUI, c'est quoi la Limite de X lorsque N tend vers l'infini tend vers quoi en loi ? Quel théorème?