Forme linéaire coordonnées et projection

[Telog]

Bonjour,
J'ai vue dans un livre les forme linéaire coordonnées relative à une base. Je trouve que cela ressemble beaucoup à une projection, mais je ne suis pas sur de ma compréhension de cette notion.

Soit B=(ej) base de E, j dans I. Soit ei* la forme linéaire coordonnés d'indice i (ei*(ei)=1 et quelque soit j dans I différent de i ei*(ej)=0)

En fait la différence avec un projection sur la droite vectoriel porté par (ei) parallèlement à E\{ei} serait que la projection retourne la coordonnées sur ei multiplié par ei.
En d'autre termes ont a pour x dans E, et P la projection sur ei: P(x)=ei*(x)ei.



J'écris mon raisonnement (n'ayant pas fait beaucoup d'algèbre linéaire ca risque de ne pas être très glorieux):

Soit B=(ej) base de E, j dans I. Soit ei* la forme linéaire coordonnés d'indice i (ei*(ei)=1 et quelque soit j dans I différent de i ei*(ej)=0)

On pose F1=(ei) et F2=(ej) pour j prenant toute les valeur dans I\{i}.
vect(F1) et vect(F2) sont deux sev (vect d'une famille est un sev).

ei n'est pas dans F2 donc l'intersection de F1 et F2 est {0E}

Par ailleurs, quelque soit x dans E:
Il existe (ak), k dans I tel que x=a0e0+a1e1+...+aiei+...anen (n=dim(E)) = x1+x2 avec x1 dans vect(F1) et x2 dans vect(F2).
Dons E = F1+F2 et la somme est directe.

F1 et F2 sont donc supplémentaire. (Autre question : F1+F2 est-il bien toujours égal à vect(F1)+vect(F2)?)

Soit x dans E. Il existe donc x1 et x2 telle que x=x1+x2.
Ainsi ei*(x)=ei*(aiei)+ei*(x2)=ai

Il manque juste ei pour avoir ei*(x1+x2)=x1

Merci d'avance, cela me permettra de mieux comprendre les notions que l'on manipule.
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[gg0]

Bonjour.

Un mélange confus entre suite de vecteurs et sev engendré (*). C'est tellement plus simple de prendre F1=vect(e_i) et qui sont tout naturellement des supplémentaires.
D'autre part, les projections sont des applications de E dans E, alors que e_i* est une forme linéaire, donc une application de E dans le corps de base (donc pas dans E sauf cas très particulier).

Mais tu peux facilement démontrer que f : x--> e_i*(x) e_i est une projection (fof=f).

Cordialement.

(*) avec ces définitions de F1 et F2, la question "F1+F2 est-il bien toujours égal à vect(F1)+vect(F2)?" a très évidemment la réponse non, F1+F2 est l'ensemble des sommes e_i+e_j pour j différent de i.

[Telog]

D'accord merci!

Au niveau de ma notation, mon erreur est-elle bien d'écrire vect(F1) et non pas vect(ei)?

Je ne comprend pas pourquoi ces deux sev ne sont pas les même. En effet comme chaque élément x1 de F1 est une combinaison linéaire de ei, un combinaison linéaire de x1 ne serait qu'une combinaison linéaire de combinaison linéaire, ce qui reste une combinaison linéaire.

Pour la deuxième question:
Est-ce juste un problème de notation:
si F1=vect(ei) et F2=vect(ej)j=1,...,n et j différent de i
alors nécessairement: F1+F2=vect(ei)+vect(ej)j=1,... ,n et j différent de i
ce qui ne serait pas vect(F1)+vect(F2).

[gg0]

Heu ... ton erreur est que F1 et F2, comme tu les as définis, sont des suites de vecteurs, pas des sev. Si F1=(ei) alors vect(F1) est bien vect(ei), mais F1+F2 n'est pas une somme de sev. J'ai repris ce que tu as écrit ...
"Je ne comprend pas pourquoi ces deux sev ne sont pas les même. " Où as-tu vu le contraire ?
Tu sembles continuer la confusion ... Relis ce que tu as écrit (sans tricher avec ce qui y est) puis ce que j'ai écrit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Telog]

Ah oui d'accord c'est bon merci, pensais juste avoir définit F1 et F2 comme des sev et non comme des bases. Cela change la définition de F1+F2.

[gg0]

Donc fais très attention à ce que tu écris. En être conscient, bien savoir le sens des notations, c'est essentiel en maths. La preuve mathématique repose essentiellement dessus.

Cordialement.