projeté sur un convexe

[itslunyitsluny]

bonjour,
svp je voudrais verifier si ma reponse à la qst 10 est correcte.

Je m'interesse à l unicité,(l'existence s'obtient en utilisant des arguments de continuité sur un compact ...),pour cela je considère la fonction q en supposant l existence de h₁ h₀ ou le minimum est atteint.
en utilisant le fait que q est derivable (vous pouvez simplifier son expression en utilisant les propriétés des normes euclidiennes ca donne un polynome de second degré) et que ||x-h₀||=||x-h₁||, on trouve que la dérivée de q : q'(t)= (2t-1)(||h₁-h₀||)
on a q(1)=||x-h₀|| et comme 1 appartient à l interieur de R (l'ensemble des réels) alors q'(1)=0 pcq le min est atteint en 1.
en suite en remplacant dans l'expression de q'(t) on trouve que ||h₁-h₀||=0 don h₁=h₀.
Le problème c'est que j'ai vu qlq corrigés et ils se basent tous sur la convexité de H ,chose que j'ai pas du tout utilisé,je commence alors à douter.(surtout sur le passage ou q'(1)=0)
qu'est ce que vous en pensez ?
Merci.
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[MissJenny]

si tu sipposes qu'il y a 2 points h1 et h2 à égales distances de x, alors le segment [h1,h2] est entièrement dans H qui est convexe, et le milieu de ce segment est à une distance de x plus petite que la distance entre x et h1 ou h2.

[itslunyitsluny]

Bonjour,d'abord je vous remercie pour la réponse.Mais j'ai pas compris ce que vous voulez dire,sinon je veux d'abord savoir si ma démarche est correcte puis si vous voulez proposer une autre démarche ca sera excellent.

[MissJenny]

l'hypothèse de convexité est essentielle, c'est facile de trouver des exemples d'ensemble H non convexe et de point x où il n'y a pas unicité. Donc si ton raisonnement n'utilise pas la convexité c'est qu'il est incorrect.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Quant à savoir ce qui ne va pas dans ta "preuve", difficile tant que tu ne rédiges pas complétement cette "preuve" (*). Et d'ailleurs, en la rédigeant, tu risques de trouver toi-même où elle coince (à quel endroit tu n'appliques pas strictement un théorème).
Mais si tu ne trouves pas, propose ta rédaction complétement argumentée.

Cordialement.

(*) en l'état, il y a plusieurs passages douteux. (douteux= on ne sait pas quelle règle mathématique est utilisée).

[itslunyitsluny]

Bonjour, j'ai explicité toutes les étapes de la "preuve":
q(t)=||x-th1+(1-t)h0||²
on utilise l'identité remarquable pour developper cette norme ,ca donne une longue expression et c'est inutile de la réecrire ,l'essentiel c'est que cette expression je la dérive et j'essaie de de la simplifier en utilisant le fait que ||x-h0||=||x-h1||, en fait je calcul le carrée de cette egalité et je simplifie l expression de q', en fin j'obtient q'(t)=(2t-1)||h1-h0|| puis comme la fonction est definie sur R et 0 appartient à son interieur et q atteint son minimum en 0 alors sa derivée en 0 est nulle.q'(0)=0 donne directement ||h1-h0||=0 donc h1=h0.

[gg0]

Ben non, tu n'as pas explicité, tu te contentes d'en parler. Une preuve, ce n'est pas du baratin.
Que fais-tu de q'(1/2)=0 ??? Et quel rapport entre q(t) et H ?? En particulier, pourquoi dis-tu "q atteint son minimum en 0" ?

[itslunyitsluny]

en fait je vois maintenant ma faute,j'ai cru que q'(0)=q'(1)=0 car q(0)=||x-h1||² et q(1)=||x-h0||² qui sont des minimums (d'après l enoncé on a fait une supposition que le min de ||x-h|| sur H est atteint en h1 et h0) ,mais ils sont des minimums pour la fonction q definie uniquement sur [0,1] car th0+(1-t)h1 reste un element de H (sinon on sort de H est donc le min n'est pas atteint forcement en h1 ou h0) et comme 1 et 0 ne sont pas à l interieur de [0,1] je ne peux pas dire que q'(0)=0=q'(1)

[gg0]

Mais non !

Si h0 et h1 sont distincts, le minimum de q(t) n'est atteint ni en t=0, ni en t=1.
D'autre part, si H n'est pas convexe, th0+(1-t)h1 n'a aucune raison d'être dans H.
Enfin, sans interprétation de h(t) en lien avec le problème, tout ça ne sert à rien.

Ce n'est pas pour rien que je te demandais de rédiger une preuve, sans te contenter de quelques calculs. Tout ce que tu as fait ne prouve rien.

[itslunyitsluny]

pourquoi il n'est pas atteint ni en 0 ni en 1 ?
le H est convexe selon l'énoncé et donc je prend t compris entre 0 et 1 ,dans ce cas th0+(1-t)h1 est dans H.q donc à valeurs dans H et on t=0 et t=1 on retrouve ||x-h1|| et ||x-h0|| qui sont egaux à d(x,H),c'est un minimum pour q tant que t est entre 0 et 1 .

[gg0]

Toujours pas de preuve rédigée, seulement une argumentation disant "ma preuve est bonne".
Puisque ta preuve est bonne, tu n'as pas besoin de nos avis. Rend-la comme ça à ton prof.

[itslunyitsluny]

je dis pas que ma preuve est bonne !! je demande pourquoi le min n'est pas atteint en 0 est en 1 ?

[itslunyitsluny]

je pose des questions pour comprendre

[gg0]

S'il existe des h0 et h1 différents, le minimum (si ta dérivée est exacte, ce qui est douteux, vu que x a disparu !) n'est pas en 0 ou 1, mais ailleurs; c'est du cours de première de lycée. Mais vu qu'on ne sait pas ce que tu fais, que tu te contentes de le dire, alors qu'il y a un zéro évident de la dérivée, ça ne sert à rien de redire ce que tu racontes depuis le début.

[itslunyitsluny]

j'ai pas compris,si h1 et h0 sont differents rien n'empeche d'atteindre le minimum qui est (d(x,H))²en deux points h1 et h0.Peut-etre j'ai mal interprété ce que tu veux dire.

[gg0]

Tu as q'(t)=(2t-1)||h1-h0||. Qui s'annule en changeant de signe pour t=1/2 (cours de première !!). Et tu n'en tiens pas compte, tu restes sur ton idée mal construite ...
Et depuis le début j'essaie de t'aider en te demandant une preuve rédigée. Que tu ne rédiges pas !
A quoi sert de demander de l'aide si tu n'es pas prêt à t'aider toi-même ?