Endomorphisme injectif est il bijectif?

[telog2]

Bonsoir,
J'ai tenté de faire cette démonstration (je ne suis pas sure que ce que je veux prouver est vrai).

Soit f un endomorphisme d'espace vectoriels dans E, telle que f injective. Alors f est un isomorphisme:

f est injective <=>ker(f)=0
Donc dim(ker(f))=0
Ainsi en appliquant le Théorème du rang:
Dim(E)=dim(f(E))

Par ailleurs, f est un endomorphisme, donc f(E) est inclus dans E.

Les dimension sont les mêmes et l'un des ensemble est inclus dans l'autre donc f(E)=E.
De plus f est injective.
Ainsi f est bijective.

Voilà je ne sais pas si ce raisonnement fonctionne
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[gg0]

C'est un peu trop détaillé, et il manque un argument : E est de dimension finie.

Car si E n'est pas de dimension finie, il existe des endomorphismes injectifs qui ne sont pas surjectifs.

Une rédaction plus rapide (j'ai enlevé les redondances et repris des formulations) :
"f est injective donc dim(ker(f))=0
D'après le théorème du rang: Dim(E)=dim(f(E))
f(E) étant un sous-espace vectoriel de E, de même dimension, f(E)=E
Donc f est surjective, donc bijective."

Cordialement.

[telog2]

D'accord merci