ordre sur R²

**ilelogique** · 02/04/2023, 13h08

Bonjour,
comment prouve-t-on que le plan euclidien n'est pas ordonnable svp ? Chat gpt dit n'importe quoi et je ne trouve rien sur le net...
et je ne parle ni d'ordre partiel ni total
Merci

**gg0** · 02/04/2023, 13h19

Bonjour.

Le plan euclidien, vu comme R² est- tout à fait ordonnable, et d'une infinité de façons. Le plus classique est l'ordre lexicographique :
$\text{[math]}$
On le généralise en choisissant une direction, ordonnant l'ensemble des droites de cette direction, et ordonnant les droites une à une pou globalement (on en ordonne une et on transfère par projection sur toutes les autres).

Cordialement.

**ilelogique** · 02/04/2023, 13h34

et cet ordre est total ? Mais alors pourquoi pas d'ordre sur C ??
car je pensais utiliser une bijection de R² sur R aussi ?

**pm42** · 02/04/2023, 13h38

Envoyé par ilelogique

Chat gpt dit n'importe quoi et je ne trouve rien sur le net...

Très mauvaise idée de lui demander ce pourquoi il n'est absolument pas fait.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ilelogique** · 02/04/2023, 13h52

chat gpt je plaisantais...

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h00

si cet ordre est total (on dirait que oui) alors pourquoi pas d'ordre sur Z svp ?

**stefjm** · 02/04/2023, 14h13

Envoyé par ilelogique

et cet ordre est total ? Mais alors pourquoi pas d'ordre sur C ??
car je pensais utiliser une bijection de R² sur R aussi ?

Il faut regarder la compatibilité avec les opérations.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Rela...atibilit%C3%A9

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h20

donc on peut mettre un ordre total sur C mais il ne sera pas compatible avec les opérations ? (du genre qu'un carré doit être supérieur à l'élément neutre de l'addition, donc distinct de -1 ?)
Pourquoi jamais de dérivées des fonctions complexes ?

**pm42** · 02/04/2023, 14h21

Envoyé par ilelogique

Pourquoi jamais de dérivées des fonctions complexes ?

Tu connais les fonctions holomorphes ?

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h22

je crois me souvenir que ce sont les fractions rationnelles complexes (donc les similitudes) ??
je viens de lire sur wiki que ce sont les fonctions complexes dérivables... bon

**gg0** · 02/04/2023, 14h27

Ça commence à faire pas mal d'idées fausses ... Et ce n'est pas la faute à ChatGPT.
Tout ça sur du très classique.

Cordialement.

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h41

ce que je demande c'est pourquoi on ne compare jamais les nombres complexes, genre dérivée positive ou négative (puisque ça existe), je croyais (à tort donc) que R² n'était pas totalement ordonnable mais puisqu'il l'est, il y a bien un truc qui dérange non, qui marche sur R et pas sur C, je cherche ce que c'est, désolé si je vous semble nul même sur du classique (et chat gpt j'aurais mieux fait de ne rien dire on dirait....)

**pm42** · 02/04/2023, 14h45

Envoyé par ilelogique

ce que je demande c'est pourquoi on ne compare jamais les nombres complexes, genre dérivée positive ou négative (puisque ça existe),

La dérivée d'une fonction holomorphe est dans C aussi donc le concept de positive/négative n'a pas de sens.

Envoyé par ilelogique

je croyais (à tort donc) que R² n'était pas totalement ordonnable mais puisqu'il l'est, il y a bien un truc qui dérange non, qui marche sur R et pas sur C

Oui, R est à 1 dimension, C à 2 dimensions donc on ne peut pas faire la même chose avec un drap qu'avec une corde.

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h46

ok, l'ordre total est possible sur C mais alors pas compatible avec la structure de corps et si on met un ordre sur C compatible avec la structure de corps alors cet ordre n'est pas total, c'est ça ?

**ilelogique** · 02/04/2023, 14h50

Envoyé par pm42

La dérivée d'une fonction holomorphe est dans C aussi donc le concept de positive/négative n'a pas de sens.

mais si on prend l'ordre lexicographique alors z=x+iy est supérieur à 0 ssi x >0 ou y>0 si x=0, ça ne marche pas ?

**gg0** · 02/04/2023, 15h14

Il n'y a aucun ordre sur C qui soit compatible avec la structure de corps. Mais tu sembles ignorer ce que veut dire "compatible avec la structure de corps". Alors je t'explique :
Soit (K, +,*) un corps. Soit < un ordre sur K (*). < est compatible avec la structure de corps de K si
pour tout a, b < c ==> a+b=a+c
pour tout a > 0 (l'élément neutre de l'addition) et tout b>0, ab>0

(R,+,.) possède un ordre compatible, bien connu. Les corps finis n'en possèdent aucun. Pour (C,+,.), on peut trouver un ordre compatible avec la structure de corps (l'ordre lexicographique), mais pas d'ordre total (**). Ce qui fait que "strictement négatif" n'est plus le contraire de "positif ou nul". Donc parler de signe d'un nombre complexe n'a plus de sens.

Revenons enfin sur le titre de ce fil de discussion : S'agit-il de R² ou de C ? Car le corps des complexes ne se réduit pas aux couples de réels. Il y a tant d'autres choses ....

(*) attention, < n'est pas l'inégalité stricte entre les réels, c'est une relation d'ordre sur K notée pas facilité <. Dans le cas de (R,+,.), c'est le <= habituel.
(**) voir Wikipédia par exemple, partie "relation d'ordre".

**GBZM** · 02/04/2023, 15h23

Bonjour

Pour (C,+,.), on peut trouver un ordre compatible avec la structure de corps (l'ordre lexicographique)

Hum hum gg0

**ThM55** · 02/04/2023, 15h28

Je crois qu'il y a eu quelques fautes de frappes dans le message de gg0, non? Laissons-le corriger.

**ilelogique** · 02/04/2023, 15h46

merci GG0 oui je comprends mieux.
oui je demandais R² car je pensais qu'il n'était pas ordonnable, donc oui voir sur C préférablement.
reste ceci : avec l'ordre lexicographique je vois un ordre total et si c<b alors c+a<b+a me semble-t-il, donc l'incompatibilité vient de a>0 et b>0 => ab>0 ? En effet si x+iy > O (au sens x>0 ou si x=0 alors y>0) et x'+iy'>O alors la partie réelle du produit (soit xx'-yy') n'est pas forcément positive.
il me reste une question :en utilisant une bijection f entre R et R² : même là on ne peut pas trouver un ordre total sur C compatible avec la structure de corps ?
merci

**ilelogique** · 02/04/2023, 15h58

merci je comprends mieux et je vois qu'avec l'ordre lexical sur C on a bien un ordre total mais a>0 et b>0 => ab>0 ne marche clairement pas avec x+iy> O ssi x>0 ou si x=0 alors y>0. Donc pas compatible avec la structure de corps.
dernière question svp : avec une bijection de R sur R² : on ne peut pas non plus avoir un ordre total compatible avec la structure de corps ? En gros pourquoi n'y a-t-il aucun ordre sur C qui soit total et compatible avec la structure de corps ?
merci

**gg0** · 02/04/2023, 15h59

Je précise, GBZM a raison : L'ordre lexicographique est compatible avec l'addition et aussi avec la multiplication par les réels positifs; pas avec la structure de corps; Et on peut aussi trouver un ordre partiel compatible avec les opérations. On est loin de ce qu'on a avec les réels !

Pour ta dernière question, effectivement, on peut munir R² d'une structure de corps totalement ordonné par transfert de celle de R. Même chose pour R^n pour tout n. Seul problème, tu ne sauras pas si (2,3) est inférieur ou supérieur à (5,-7) puisque ça dépend du choix de la bijection, et qu'il y en a une infinité. On perd toute référence aux calculs connus. Et on a perdu au passage tout lien avec le structure ce corps habituelle sur C. Ça ressemble assez à la méthode du jardinier qui, pour enlever les mauvaises herbes dans son semis de carottes bêche tout le carré de carottes.

**ilelogique** · 02/04/2023, 15h59

pardon j'ai répondu un peu 2 fois la même chose, mon message avait disparu !

**GBZM** · 02/04/2023, 16h01

Quoi qu'on fasse, on ne peut trouver aucun ordre total sur $\text{[math]}$ compatible avec la structure de corps.
Supposons qu'un tel ordre existe, notons-le $\text{[math]}$ ).
Pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ ou alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ . Tout carré est positif ou nul. Donc $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ et comme $\text{[math]}$ on déduit $\text{[math]}$ : absurde.
De manière générale, un corps peut être totalement ordonné de façon compatible avec la structure de corps si et seulement si $\text{[math]}$ n'est pas une somme de carrés dans ce corps.

**ilelogique** · 02/04/2023, 16h06

ok merci c'est très clair, c'est la règle des signe qui pêche (alors que a>b => a+c>b+c fonctionnerait)

ordre sur R²

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Re : ordre sur R²

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