Espaces de dimension finie

[Tiwaz]

Bonjour, j'aimerais savoir pourquoi lorsqu'on a une famille libre (de vecteurs d'un ev de dimension finie) qui n'est pas une base, on doit "rajouter" des vecteurs a cette famille pour obtenir une base ? Pourquoi ne pas en enlever ?
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[pm42]

Bonjour, j'aimerais savoir pourquoi lorsqu'on a une famille libre (de vecteurs d'un ev de dimension finie) qui n'est pas une base, on doit "rajouter" des vecteurs a cette famille pour obtenir une base ? Pourquoi ne pas en enlever ?

Si elle est libre et pas une base, tu génères un sous-espace vectoriel de dimension inférieure à celui de l'EV d'origine.
Si tu en retires, tu diminues encore la taille du sous-espace vectoriel. Comment faire une base comme ça ?

[Deedee81]

Salut,

Attention de ne pas confondre famille libre (comme expliqué par pm42) et famille génératrice qui là (quand ce n'est pas une base) à trop de vecteurs.

[gg0]

Autre façon de voir :

Si on rajoute des vecteurs à une famille génératrice, elle est encore génératrice. Si on retire des vecteurs à une famille libre, elle reste génératrice.
Si une famille (libre ou pas) n'est pas génératrice, en lui enlevant des vecteurs elle ne sera toujours pas génératrice.
Ces propriétés sont des conséquences immédiates des définitions.
Donc enlever des vecteurs d'une famille libre qui n'est pas une base (donc pas génératrice) ne donnera jamais une famille génératrice, une base.
Par contre, et ça se démontre facilement, enlever d'une famille génératrice finie et liée un vecteur bien choisi (voir les preuves de ton cours) redonne une famille génératrice. Si elle n'est pas libre, on peut recommencer. Inversement, si une famille libre n'est pas génératrice, mais qu'il y a une famille génératrice finie, on peut choisir de rajouter un vecteur bien choisi de la famille génératrice et obtenir encore une famille libre. Si ce n'est pas une base, donc pas génératrice, on peut recommencer.
Ce qui est important, c'est que dans les deux façons, on obtient finalement une base.
Les familles génératrices sont de taille supérieures aux familles libres, et les bases sont exactement à la limite entre les deux, ce sont les "plus petites familles génératrices" et les "plus grandes familles libres'.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

lapsus

Si on rajoute des vecteurs à une famille génératrice, elle est encore génératrice. Si on retire des vecteurs à une famille libre, elle reste génératrice.

libre

[gg0]

Merci de la rectification. La bonne phrase est :
"Si on rajoute des vecteurs à une famille génératrice, elle est encore génératrice. Si on retire des vecteurs à une famille libre, elle reste libre."

[Tiwaz]

Merci beaucoup pour vos réponses, je comprends mieux maintenant, je n'avais pas bien assimilé la notion de famille génératrice.