Un topos pour jouer

[GBZM]

Je propose de voir concrètement un exemple de topos, différent du topos des ensembles, en illustrant en particulier la logique intuitionniste (non classique) fonctionnant dans ce topos.

Le topos des "ensembles à deux temps".
Un objet du topos des ensembles, c'est juste un ensemble. Un objet du topos des ensembles à deux temps, c'est deux ensembles et et une application ensembliste entre les deux
Un morphisme d'un ensemble dans un ensemble dans le topos des ensembles, c'est juste une application ensembliste . Un morphisme de l'ensemble à deux temps dans l'ensemble à deux temps, c'est une application ensembliste , une application ensembliste telles que , autrement dit telles que le diagramme commute.
Un sous-objet de l'ensemble dans le topos des ensembles est juste une partie de . Un sous objet d'un ensemble à deux temps est une partie de et une partie de telles que , ce qui fait qu'on a bien une application par restriction de .
L'objet classifiant les sous-objets du topos des ensembles est l'ensemble . Ça veut dire que pour toute partie d'un ensemble , il existe un unique morphisme (fonction) caractéristique tel que . , c'est l'objet des valeurs de vérité du topos des ensembles. L'objet classifiant les sous-objets du topos des ensembles à deux temps (l'objet des valeurs de vérité de ce topos) est avec , et qui envoie 0 sur 0, 1/2 sur 1 et 1 sur 1. Ça, je vous l'assène ; pour vous en convaincre, essayez de trouver le morphisme caractéristique d'un sous-objet d'un objet du topos des ensembles à deux temps. Ce qu'on cherche, c'est donc une application ensembliste et une application ensembliste telles que . On veut bien sûr que le morphisme caratéristique redonne le sous-objet par pour .
La négation dans le topos des ensembles c'est l'application de l'ensemble des valeurs de vérité dans lui-même qui envoie 0 sur 1 et 1 sur 0. La propriété de ce "non", c'est que est le morphisme caractéristique du complémentaire de dans (la plus grande partie de dont l'intersection avec est vide. Qu'est ce alors que le dans le topos des ensembles à deux temps ? Le est facile à deviner, le demande un peu de réflexion). Est-ce que est l'identité dans le topos des ensembles à deux temps ?
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[MissJenny]

je ne vois pas ce qui empêche de prendre pour Xi_0 et Xi_1 les fonctions caractéristiques ordinaires (c'est-à-dire d'ignorer la valeur 1/2 de Omega_0).

[GBZM]

Merci pour cette question très intéressante !

Supposons qu'on ait un élément qui n'est pas dans mais tel que soit dans .
Tu suggères de prendre et . Mais ça coince parce qu'alors et ça contredit la commutativité du carré ()exigée pour les morphismes entre ensembles à deux temps.
Ça devrait t'indiquer comment définir pour que ça marche bien.

[MissJenny]

ah oui je vois. Mais d'ailleurs ça soulève une autre question que j'ai failli poser, mais que je pose maintenant : pourquoi dans la définition du sous-objet est-ce qu'on n'impose pas que A1 soit exactement l'image de A0 (et pas juste que A1 contienne l'image de A0) ? du coup il y a plein de sous-objets qui ont même A0 et même application t mais différents A1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Dans le topos des ensembles, un sous-objet est une application injective , en identifiant et quand il y a une bijection qui fait commuter le triangle- c.-à-d. quand les deux injections ont même image. Il est commode de représenter le sous-objet par cette image commune, qui est une partie de .
Dans le topos des ensembles à deux temps, un morphisme "injectif" (on parle plutôt de monomorphisme) de dans est un morphisme tel que les applications et soient injectives. Ici aussi il est commode de représenter le sous-objet par les images de et qui sont des parties respectivement de et , notons les et . La commutativité du carré impose que , mais il n'y a pas de raison d'avoir l'égalité.
Du point de vue de l'interprétation de deux états de connaissance de la situation : au temps 0 on peut ne pas connaître encore tous les éléments de la partie, ou ne pas savoir encore qu'un élément de qu'on connaît appartient à la partie.

[MissJenny]

je suppose que pour Xi_0 il faut qu'il donne 1 sur A0, 1/2 sur le complémentaire de A0 dans l'image réciproque de A1 par t_X, et 0 ailleurs. Et pour Xi_1 la fonction caractéristique ordinaire. Mais ça paraît trivial, donc quelque-chose doit m'échapper...

[GBZM]

Oui, c'est bien ça. Pourquoi est-ce que ça ne devrait pas être trivial ?
Maintenant, tu peux t'attaquer à la négation de dans .

[Anonyme007]

je suppose que pour Xi_0 il faut qu'il donne 1 sur A0, 1/2 sur le complémentaire de A0 dans l'image réciproque de A1 par t_X, et 0 ailleurs. Et pour Xi_1 la fonction caractéristique ordinaire. Mais ça paraît trivial, donc quelque-chose doit m'échapper...

Je suis heureux de te voir réussir la première question tout (e) seul (e). Tu progresses vite.