produit cartésien "continu" ?

[mtheory]

Bonjour,
Depuis quelques semaines je me pose une question sans doute naïve et qui a sans doute été déjà étudiée mais des recherches rapides ne me donnent rien.

Je me demande si on peut faire des produits cartésiens "continus", dans tous les textes mathématiques que je connais, on a un produit d'ensembles dénombrables E₁*E₂*E₃ ...E_n existe- t-il un notion ou n varierait de façon continue et non plus discrète ?
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[mtheory]

a priori j'aurai tendance à penser que ça existe forcément puisqu'une fonction continue peut être considérées comme un vecteur dans l'espace vectoriel des fonctions continues sur un intervalle.

[mtheory]

Je pense aussi à https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_geometry

[MissJenny]

On peut voir le produit ExEx...xE comme l'ensemble des applications de {1,2,..,n} dans E. SI on remplace {1,..,n} par disons l'intervalle [0,1] on a une sorte de "produit continu". Mais on n'a rien de plus que ce qu'on avait déjà, l'ensemble des applications de [0,1] dans E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,
Franchement, je ne vois pas trop de rapport entre la géométrie continue et l'idée de "produit cartésien continu". Peux-tu expliquer comment tu vois ça ?

Une façon de voir le produit cartésien : on considère la réunion disjointe et l'application qui associe à chaque élément de l'union disjointe le n° du auquel il appartient. Le produit cartésien peut être vu comme l'ensemble des sections de , c.-à-d. l'ensemble des applications telles que est l'identité de , autrement dit telles que .

On peut remplacer dans cet histoire par un ensemble quelconque . Donnons nous . On pose . Alors le produit est l'ensemble des sections de . Ce que raconte MissJenny s'inscrit dans ce cadre en prenant pour le produit cartésien et pour la projection sur le second facteur.
On peut corser les choses en mettant des topologies sur et , de telle sorte que soit continue. Le "produit continu" est alors l'ensemble des sections continues de , c.-à-d. des applications continues telles que est l'identité de .
Si on demande que soit une application étale, on arrive à la notion de faisceau sur , très importante en mathématiques, qu'on peut voir comme une famille d'ensembles variant continûment sur . Le "produit continu" des est ce qu'on appelle l'ensemble des sections globales du faisceau.

Et merde !!! Les formules LaTeX ne s'affichent plus.

[mtheory]

Bonjour,
Franchement, je ne vois pas trop de rapport entre la géométrie continue et l'idée de "produit cartésien continu". Peux-tu expliquer comment tu vois ça ?

Eh bien, wikipédia dit " where instead of the dimension of a subspace being in a discrete set 0 , 1 , … , n , it can be an element of the unit interval [ 0 , 1 ]." J'ai l'impression que ça code bien l'idée que l'on a une base vectorielle qui n'est plus discrète mais continue et donc qu'on n'a plus un truc genre Rⁿ

[mtheory]

Bonjour,
Franchement, je ne vois pas trop de rapport entre la géométrie continue et l'idée de "produit cartésien continu". Peux-tu expliquer comment tu vois ça ?

Une façon de voir le produit cartésien : on considère la réunion disjointe et l'application qui associe à chaque élément de l'union disjointe le n° du auquel il appartient. Le produit cartésien peut être vu comme l'ensemble des sections de , c.-à-d. l'ensemble des applications telles que est l'identité de , autrement dit telles que .

On peut remplacer dans cet histoire par un ensemble quelconque . Donnons nous . On pose . Alors le produit est l'ensemble des sections de . Ce que raconte MissJenny s'inscrit dans ce cadre en prenant pour le produit cartésien et pour la projection sur le second facteur.
On peut corser les choses en mettant des topologies sur et , de telle sorte que soit continue. Le "produit continu" est alors l'ensemble des sections continues de , c.-à-d. des applications continues telles que est l'identité de .
Si on demande que soit une application étale, on arrive à la notion de faisceau sur , très importante en mathématiques, qu'on peut voir comme une famille d'ensembles variant continûment sur . Le "produit continu" des est ce qu'on appelle l'ensemble des sections globales du faisceau.

Et merde !!! Les formules LaTeX ne s'affichent plus.

L'explication de MissJenny me plait bien, si j'ai bien compris on voit aussi en plus une sorte de structure de produit fibré avec R comme base et les E comme fibres ?

[GBZM]

La dimension dans la géométrie continue est une sorte de hauteur dans le treillis des sous-espaces, avec hauteur 0 pour le 0 du treillis et 1 pour le 1. On demande à cette hauteur la propriété d'additivité. Il me semble que tu confonds le fait que l'ensemble des dimensions puisse être continu avec le fait qu'on fasse le produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble continu.
Un produit fibré, ce n'est pas ça. Si on a deux applications a : I -> K et b : J -> K, le produit fibré de I et J au-dessus de K est l'ensemble des (i,j) dans IxJ tels que a(i)=b(j).
Ici on a juste un produit ExR, avec la projection p sur le deuxième facteur R. Comme je l'explique (mais c'est illisible à cause du bug du site), on peut considérer plus généralement une application p : F -> I et la considérer comme une famille d'ensembles indexée par I.