Problème raisonnement série

[Telog]

Bonjour,

j'ai un problème de raisonement que je n'arrive pas à résoudre:

soit un et vn deux suites telles que: u(n+1)/un=1 et v(n+1)/vn=1.

Ainsi lim(u(n+1)/un)/(v(n+1)/vn)=1

donc u(n+1)/un et v(n+1)/vn sont équivalent. Par produit télescopique on en déduis que un/u0 et vn/v0 sont équivalent soit un équivalent à (u0/v0)*vn.
Ainsi la série des un converge si et seulement si la série des vn converge.

Or ce résultat est faux (exemple: on prend un=1 et vn=1/(n+1)^2) , je ne comprend pas où est l'erreur.

merci d'avance pour la réponse
-----

[GBZM]

Bonjour

soit un et vn deux suites telles que: u(n+1)/un=1 et v(n+1)/vn=1.

Donc tes deux suites sont constantes. Ce n'est sans doute pas ce que tu voulais écrire. Peux-tu corriger ?

En fait, ton erreur est ici :

Par produit télescopique on en déduis que un/u0 et vn/v0 sont équivalent

Si tu crois vraiment en cet argument, peux-tu le détailler ?

[Telog]

Ah oui merci j'ai oublié les limites, ont a donc lim u(n+1)/un=lim v(n+1)/vn =1 au départ.

Ensuite pour le produit téléscopique, on fait:

(Un/un-1)*(un-1/un-2)*...*(u1/u0)=Un/u0 équivalent à
(Vn/vn-1)*...(v1/v0)= vn/v0

[pm42]

(Un/un-1)*(un-1/un-2)*...*(u1/u0)=Un/u0 équivalent à
(Vn/vn-1)*...(v1/v0)= vn/v0

Pourquoi ? Ce n'est pas une démonstration. Cela revient à dire que l'équivalence aurait lieu dès le début alors qu'on parle de limites.
Par exemple, Un=1 pour tout n, V0=10, Vn=1 pour n>=1. Est que Un/U0 est équivalent à Vn/V0 ? Autrement dit est que 10 -1 est négligeable devant 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Telog.

Pourquoi dis-tu qu'ils sont équivalents ? Penserais-tu que (u1/u0) est "équivalent" (*) à (v1/v0) ?

Cordialement.

(*) dans quel sens de "équivalent" peut-on parler ainsi ? Qu'est-ce que deux constantes équivalentes ?

[Telog]

Ah oui d'accord j'ai compris mon erreu.

Normalement on a bien (un+1/un) équivalent à (vn+1/vn) (je crois que ce n'est pas faux, on parle des suites et non d'une valeur finie), mais pas v1/v0 et u1/u0 car ce sont des constantes (deux constantes équivalentes sont égales).

[gg0]

Oui.

Reviens à la définition de "suites équivalentes" : les suites u et v sont équivalentes si
(*)
Ça ne parle pas de n, de u_n, encore moins de u₁.

Cordialement.

(*) Comme le laTeX semble ne pas passer, voila le texte brut : \lim\limits_{k\to +\infty}\frac{u_k}{v_k} = 1