Intégrale au sens de Lebesgue

[itslunyitsluny]

Salut!
Je viens de lire le cours d'intégration au sens de Lebesgue (bon,une lecture partielle...je vais refaire une autre).Il y a plein de choses que je comprend pas.
dejà au niveau de la notation je comprends pas ce qui se passe.
Intégrale de Riemann:
Intégrale de Lebesgue: avec m la mesure de Lebesgue.
Ce que je sais c est que si f a une integrale convergente au sens de Riemann, elle l'est au sens de Lebesgue.
Donc à priori et ne sont pas égales ??
De plus, pour l'étude de la nature d'une intégrale au sens de Riemann on a plusieurs moyens (relations de comparaisons,inégalités ...).Supposons une intégrale diverge au sens de Riemann,est ce qu elle peut converger au sens de Lebesgue ?.Si oui veuillez me donner un exemple de fonction avec la méthode de son étude.
En fin,il y a tjrs des reflexes à avoir dans certains cours,c'est le cas pour l'intégration.Veuillez me donner qq astuces pour l'étude d'une intégrale ainsi que les erreurs à eviter.
.Si vous avez des ressources utiles à me donner je serai très heureux!
puisque j'ai pas fini tout le cours il se peut que je poserai d'autres questions.Merci à vous !
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[gg0]

Bonjour.

Quelques confusions. D'abord, l'intégrale de Riemann se fait sur un intervalle de R, ou, par généralisation, sur un pavé de R^n. Alors que celle de Lebesgue se fait sur R tout entier. Et ne généralise pas les intégrales généralisées, même convergentes : la fonction sin(x) /x n'est pas Lebesgue-intégrable, alors qu'elle donne une intégrale généralisée convergente.
Ensuite, l'intégrale de Lebesgue n'est pas une nouvelle méthode de calcul des intégrales, mais une nouvelle définition d'une notion d'intégration, plus générale et plus pratique à l'usage. Mais il te faudra avoir cet usage pour t'en rendre compte.
Pour la notation, ne lui accorde pas trop d'importance, contente toi de suivre tranquillement ce qu'on t'enseigne.

Cordialement.

[itslunyitsluny]

Bonsoir,merci pour la réponse.
Déjà j'ai pas bien saisi la première partie partie de votre réponse,on a eu l'habitude de travailler avec des intégrales de Riemann dont les bornes sont infinies ,pourquoi on ne peut pas integrer sur R ?
Vous avez dit que c'est une nouvelle notion d'integrale,donc à priori elle n'est pas manipulée comme l'intégrale de Riemann ?(par ex pour determiner sa valeur on n utilise plus des primitives ?)
Du coup quelle est le lien entre integrale de Riemann et celle du Lebesgue ? (ce que je sais c'est que si une integrale converge selon Riemann alors elle converge selon Lebesgue.Est ce qu'une intégrale qui diverge au sens de Riemann diverge au sens de Lebesgue ? )

[gg0]

Je te l'ai dit, tu confonds intégrale et intégrale généralisée.
L'intégrale de Lebesgue est encore une autre notion d'intégrale. Relis soigneusement mon message. Tu poses des questions dont la réponse y est déjà.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

Une intégrale qui existe au sens de Riemann (càd à valeur dans R U {-oo,+oo}) existe également au sens de Lebesgue ?
(Si c'est correct alors l'étude d'une telle intégrale (au sens de Lebsegue) peut se ramener à l'étude d'une intégrale au sens de Riemann)

[GBZM]

Bonjour,

Si f est Riemann-intégrable sur [a,b], alors elle est Lebesgue-ntégrable sur [a,b] et les deux intégrales sont égales.

[itslunyitsluny]

Bonjour,

Si f est Riemann-intégrable sur [a,b], alors elle est Lebesgue-ntégrable sur [a,b] et les deux intégrales sont égales.

intégrable c'est à dire que la fonction admet une intégrale à valeur dans R U {-oo,+oo} ? (Dans le nouveau programme intégrable et sommable sont des termes identiques ,mais dans les anciens livres les deux termes sont differents)

[GBZM]

Vu qu'une fonction Riemann-intégrable sur un segment [a,b] y est forcément bornée, elle ne risque pas d'avoir une intégrale infinie !

[itslunyitsluny]

Quand vous dites f est Riemann intégrable,cela signifie que integrale(|f|) converge ou bien integrale(f) converge ?

[GBZM]

Ton "converge" ne fait pas de sens. Revois la définition de l'intégrale de Riemann sur un segment [a,b].
On peut avoir |f| Riemann-intégrable sur [a,b] sans que f le soit : prendre par exemple pour f la fonction qui vaut 1 pour les rationnels et -1 pour les irrationnels.

[itslunyitsluny]

je veux juste la défintion du mot "intégrable"

[GBZM]

https://bibmath.net/dico/index.php?a...manninteg.html

[itslunyitsluny]

Ok j'ai compris.Par contre y'a t il un lien entre integrale impropre (définie à partir de celle de Riemann) et intégrale de lebesgue ?

[gg0]

Il y a des cas particuliers, par exemple pour les fonctions positives, mais pas de règle générale (revoir le message #2). C'est explicité dans tous les bons cours.

Cordialement.