Intégrale au sens de Lebesgue

[invite9b066dec]

Bonsoir,

Je viens de découvrir l’intégrabilité au sens de Lebesgue et j'ai pas bien compris quand peut on dire qu'une fonction est intégrable au sens de Lebesgue.

Peut on appliquer les mêmes théorèmes d’intégrabilité de Riemann ?
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[gg0]

Bonjour.

C'est un peu délicat, car généralement on utilise l'intégrale de Riemann sur des fermés bornés, et l'intégrale de Lebesgue sur R tout entier.
Donc pour les fonctions définies sur un intervalle [a,b], les Riemann-intégrables sont Lebesgue-intégrables. Pour les intégrales de Riemann généralisées (sur un intervalle, ou sur R tout entier) ce n'est pas le cas.
Par exemple la fonction :

complétée par continuité en 0 a une intégrale convergente, mais n'est pas Lebesgue-intégrable (f⁺ ne l'est pas).

Donc c'est une bonne question, sur laquelle tu reviendras probablement au cours de tes études.

Cordialement.